OFFSET
0,28
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Alois P. Heinz, Layers n = 0..48, flattened
FORMULA
EXAMPLE
-----+-------------+---------+-----------+--------
0 0 : 1 : : : 1
-----+-------------+---------+-----------+--------
1 0 : 0 1 : 1 : . :
1 1 : 0 : : 1 : 1
-----+-------------+---------+-----------+--------
2 0 : 0 0 1 : 1 : . . :
2 1 : 0 1 : 1 : . :
2 2 : 0 : : 1 1 : 2
-----+-------------+---------+-----------+--------
3 0 : 0 0 0 1 : 1 : . . . :
3 1 : 0 1 1 : 2 : . . :
3 2 : 0 1 : 1 : . :
3 3 : 0 : : 2 1 1 : 4
-----+-------------+---------+-----------+--------
4 0 : 0 0 0 0 1 : 1 : . . . . :
4 1 : 0 1 2 1 : 4 : . . . :
4 2 : 0 2 1 : 3 : . . :
4 3 : 0 1 : 1 : . :
4 4 : 0 : : 4 3 1 1 : 9
-----+-------------+---------+-----------+--------
5 0 : 0 0 0 0 0 1 : 1 : . . . . . :
5 1 : 0 1 2 2 1 : 6 : . . . . :
5 2 : 0 4 3 1 : 8 : . . . :
5 3 : 0 3 1 : 4 : . . :
5 4 : 0 1 : 1 : . :
5 5 : 0 : : 9 6 3 1 1 : 20
-----+-------------+---------+-----------+--------
MAPLE
b:= proc(n, i, t, h) option remember; expand(`if`(n=0 or h=0
or i=1, x^(t*n), b(n, i-1, t, h)+add(x^(t*j)*binomial(
b(i-1$2, 0, h-1)+j-1, j)*b(n-i*j, i-1, t, h), j=1..n/i)))
end:
g:= (n, h)-> b(n$2, 1, h)-`if`(h=0, 0, b(n$2, 1, h-1)):
F:= (n, h, t)-> coeff(g(n, h), x, t):
seq(seq(seq(F(n, h, t), t=0..n-h), h=0..n), n=0..9);
MATHEMATICA
b[n_, i_, t_, h_] := b[n, i, t, h] = Expand[If[n == 0 || h == 0
|| i == 1, x^(t*n), b[n, i-1, t, h] + Sum[x^(t*j)*Binomial[
b[i-1, i-1, 0, h-1]+j-1, j]*b[n - i*j, i-1, t, h], {j, 1, n/i}]]];
g[n_, h_] := b[n, n, 1, h] - If[h == 0, 0, b[n, n, 1, h-1]];
F[n_, h_, t_] := Coefficient[g[n, h], x, t];
Table[Table[Table[F[n, h, t], {t, 0, n-h}], {h, 0, n}], {n, 0, 9}] //
Flatten (* Jean-François Alcover, Mar 10 2022, after Alois P. Heinz *)
CROSSREFS
KEYWORD
AUTHOR
Alois P. Heinz, Aug 22 2017
STATUS
approved