%I #53 Sep 08 2022 08:46:08
%S 68,668,6668,67744,72352,666668,7143040,66666752,71430400,666666752,
%T 714304000,6666666668,7143040000,71430400000,666666666668,
%U 666666668032,714304000000,714499133440,7143040000000,7144991334400
%N Numbers n such that n + phi(n) is a power of 10.
%C All terms are even.
%C If p = (5^m*10^n+1)/3 is an odd prime then s = 2^(m+1)*p is in the sequence, because s+phi(s) = 10^(m+n).
%C For many integers m, p cannot be prime.
%C Take m=1, we get these terms: 68, 668, 6668, ... .
%C Take m=5, we get these terms: 666666666666666666666666688,
%C 666666666666666666666666666666666666688, ... .
%C Take m=7, we get these terms: 66666752, 666666752, ... .
%C Take m=11, we get these terms: 666666668032, 666666666666666668032, ... .
%C Take m=13, we get these terms: 6666666666666666672128, 6666666666666666666672128, ... .
%C Take m=17, we get these terms: 66666666666666754048, 66666666666666666754048, ... .
%C ...
%C From _Robert Israel_, Aug 04 2014: (Start)
%C Since n < n + phi(n) < 2*n, the most significant digit of n must be 5,6,7,8 or 9.
%C n is not divisible by the square of any prime other than 2 or 5. (End)
%C a(15) > 10^11. - _Hiroaki Yamanouchi_, Aug 27 2014
%C If n is in the sequence and 10 divides n then for every positive integer m, 10^m*n is also in the sequence. Since phi(10^m*n)+10^m*n = 10^m*(phi(n)+n). n=7143040 is the first such number. - _Farideh Firoozbakht_, Dec 09 2014
%C Numbers n such that phi(n) equals to 10^ceiling(log(10,n))-n. - _Farideh Firoozbakht_, Jan 01 2015
%C a(21) > 10^13. - _Giovanni Resta_, Jul 13 2015
%e 68+phi(68) = 68+32 = 10^2.
%e 72352+phi(72352) = 72352+27648 = 10^5.
%p select(proc(n) local t; t:= n + numtheory:-phi(n); t = 10^ilog10(t) end proc, [$1..10^6]); # _Robert Israel_, Aug 04 2014
%t a244440[n_Integer] := Flatten[Position[Map[IntegerQ[Log10[# + EulerPhi[#]]] &, Range[n]], True]] (* _Michael De Vlieger_, Aug 03 2014 *)
%o (Python) from sympy import totient
%o [n for n in range(1,10**7) if 10**(int(log10(n+totient(n)))) == n+totient(n)] # _Chai Wah Wu_, Aug 03 2014
%o (PARI) for(n=1,10^7,v=digits(eulerphi(n)+n-1);if(vecmin(v)==9,print1(n,", "))) \\ _Derek Orr_, Aug 03 2014
%o (PARI) for(n=1,10^7,if (ispower(eulerphi(n)+n,,&m) && (m==10), print1(n, ", "))); \\ _Michel Marcus_, Aug 04 2014
%o (PARI) for(n=1, 10^9, my(t=eulerphi(n)+n, s=t/10^valuation(t,10)); if (s==1, print1(n, ", "))); \\ _Joerg Arndt_, Aug 05 2014
%o (Magma) [n: n in [1..10^7] | 10^Ilog(10,s) eq s where s is n+EulerPhi(n)]; // _Bruno Berselli_, Aug 05 2014
%Y Cf. A000010, A011557.
%K nonn,base,more
%O 1,1
%A _Farideh Firoozbakht_, Jul 30 2014
%E a(8)-a(14) from _Hiroaki Yamanouchi_, Aug 27 2014
%E a(15)-a(20) from _Giovanni Resta_, Jul 13 2015