|
|
COMMENTS
| Comments from John Layman, Aug 29 2008 (Start):
I have found a sequence which shows that a(5) of A062714 is less than or equal to 19 and I have also shown that a(5)>18, thus a(5)=19.
It was previously only known that a(5) was 19 or 20.
The following is a sequence of length 19 with terms from 1,2,...,5 that contains as subsequences all of the 120 permutations of 1,2,...,5:
{1,2,3,4,5,1,2,3,4,1,5,2,3,1,4,2,3,5,1}
The proof is shown here:
{1,2,3,4,5,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-}
{1,2,3,-,5,-,-,-,4,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-}
{1,2,-,4,-,-,-,3,-,-,5,-,-,-,-,-,-,-,-}
{1,2,-,4,5,-,-,3,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-}
{1,2,-,-,5,-,-,3,4,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-}
{1,2,-,-,5,-,-,-,4,-,-,-,3,-,-,-,-,-,-}
{1,-,3,-,-,-,2,-,4,-,5,-,-,-,-,-,-,-,-}
{1,-,3,-,-,-,2,-,-,-,5,-,-,-,4,-,-,-,-}
{1,-,3,4,-,-,2,-,-,-,5,-,-,-,-,-,-,-,-}
{1,-,3,4,5,-,2,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-}
{1,-,3,-,5,-,2,-,4,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-}
{1,-,3,-,5,-,-,-,4,-,-,2,-,-,-,-,-,-,-}
{1,-,-,4,-,-,2,3,-,-,5,-,-,-,-,-,-,-,-}
{1,-,-,4,-,-,2,-,-,-,5,-,3,-,-,-,-,-,-}
{1,-,-,4,-,-,-,3,-,-,-,2,-,-,-,-,-,5,-}
{1,-,-,4,-,-,-,3,-,-,5,2,-,-,-,-,-,-,-}
{1,-,-,4,5,-,2,3,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-}
{1,-,-,4,5,-,-,3,-,-,-,2,-,-,-,-,-,-,-}
{1,-,-,-,5,-,2,3,4,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-}
{1,-,-,-,5,-,2,-,4,-,-,-,3,-,-,-,-,-,-}
{1,-,-,-,5,-,-,3,-,-,-,2,-,-,4,-,-,-,-}
{1,-,-,-,5,-,-,3,4,-,-,2,-,-,-,-,-,-,-}
{1,-,-,-,5,-,-,-,4,-,-,2,3,-,-,-,-,-,-}
{1,-,-,-,5,-,-,-,4,-,-,-,3,-,-,2,-,-,-}
{-,2,-,-,-,1,-,3,4,-,5,-,-,-,-,-,-,-,-}
{-,2,-,-,-,1,-,3,-,-,5,-,-,-,4,-,-,-,-}
{-,2,-,-,-,1,-,-,4,-,-,-,3,-,-,-,-,5,-}
{-,2,-,-,-,1,-,-,4,-,5,-,3,-,-,-,-,-,-}
{-,2,-,-,-,1,-,-,-,-,5,-,3,-,4,-,-,-,-}
{-,2,-,-,-,1,-,-,-,-,5,-,-,-,4,-,3,-,-}
{-,2,3,-,-,1,-,-,4,-,5,-,-,-,-,-,-,-,-}
{-,2,3,-,-,1,-,-,-,-,5,-,-,-,4,-,-,-,-}
{-,2,3,4,-,1,-,-,-,-,5,-,-,-,-,-,-,-,-}
{-,2,3,4,5,1,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-}
{-,2,3,-,5,1,-,-,4,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-}
{-,2,3,-,5,-,-,-,4,1,-,-,-,-,-,-,-,-,-}
{-,2,-,4,-,1,-,3,-,-,5,-,-,-,-,-,-,-,-}
{-,2,-,4,-,1,-,-,-,-,5,-,3,-,-,-,-,-,-}
{-,2,-,4,-,-,-,3,-,1,5,-,-,-,-,-,-,-,-}
{-,2,-,4,-,-,-,3,-,-,5,-,-,1,-,-,-,-,-}
{-,2,-,4,5,1,-,3,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-}
{-,2,-,4,5,-,-,3,-,1,-,-,-,-,-,-,-,-,-}
{-,2,-,-,5,1,-,3,4,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-}
{-,2,-,-,5,1,-,-,4,-,-,-,3,-,-,-,-,-,-}
{-,2,-,-,5,-,-,3,-,1,-,-,-,-,4,-,-,-,-}
{-,2,-,-,5,-,-,3,4,1,-,-,-,-,-,-,-,-,-}
{-,2,-,-,5,-,-,-,4,1,-,-,3,-,-,-,-,-,-}
{-,2,-,-,5,-,-,-,4,-,-,-,3,1,-,-,-,-,-}
{-,-,3,-,-,1,2,-,4,-,5,-,-,-,-,-,-,-,-}
{-,-,3,-,-,1,2,-,-,-,5,-,-,-,4,-,-,-,-}
{-,-,3,-,-,1,-,-,4,-,-,2,-,-,-,-,-,5,-}
{-,-,3,-,-,1,-,-,4,-,5,2,-,-,-,-,-,-,-}
{-,-,3,-,-,1,-,-,-,-,5,2,-,-,4,-,-,-,-}
{-,-,3,-,-,1,-,-,-,-,5,-,-,-,4,2,-,-,-}
{-,-,3,-,-,-,2,-,-,1,-,-,-,-,4,-,-,5,-}
{-,-,3,-,-,-,2,-,-,1,5,-,-,-,4,-,-,-,-}
{-,-,3,-,-,-,2,-,4,1,5,-,-,-,-,-,-,-,-}
{-,-,3,-,-,-,2,-,4,-,5,-,-,1,-,-,-,-,-}
{-,-,3,-,-,-,2,-,-,-,5,-,-,1,4,-,-,-,-}
{-,-,3,-,-,-,2,-,-,-,5,-,-,-,4,-,-,-,1}
{-,-,3,4,-,1,2,-,-,-,5,-,-,-,-,-,-,-,-}
{-,-,3,4,-,1,-,-,-,-,5,2,-,-,-,-,-,-,-}
{-,-,3,4,-,-,2,-,-,1,5,-,-,-,-,-,-,-,-}
{-,-,3,4,-,-,2,-,-,-,5,-,-,1,-,-,-,-,-}
{-,-,3,4,5,1,2,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-}
{-,-,3,4,5,-,2,-,-,1,-,-,-,-,-,-,-,-,-}
{-,-,3,-,5,1,2,-,4,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-}
{-,-,3,-,5,1,-,-,4,-,-,2,-,-,-,-,-,-,-}
{-,-,3,-,5,-,2,-,-,1,-,-,-,-,4,-,-,-,-}
{-,-,3,-,5,-,2,-,4,1,-,-,-,-,-,-,-,-,-}
{-,-,3,-,5,-,-,-,4,1,-,2,-,-,-,-,-,-,-}
{-,-,3,-,5,-,-,-,4,-,-,2,-,1,-,-,-,-,-}
{-,-,-,4,-,1,2,3,-,-,5,-,-,-,-,-,-,-,-}
{-,-,-,4,-,1,2,-,-,-,5,-,3,-,-,-,-,-,-}
{-,-,-,4,-,1,-,3,-,-,-,2,-,-,-,-,-,5,-}
{-,-,-,4,-,1,-,3,-,-,5,2,-,-,-,-,-,-,-}
{-,-,-,4,-,1,-,-,-,-,5,2,3,-,-,-,-,-,-}
{-,-,-,4,-,1,-,-,-,-,5,-,3,-,-,2,-,-,-}
{-,-,-,4,-,-,2,-,-,1,-,-,3,-,-,-,-,5,-}
{-,-,-,4,-,-,2,-,-,1,5,-,3,-,-,-,-,-,-}
{-,-,-,4,-,-,2,3,-,1,5,-,-,-,-,-,-,-,-}
{-,-,-,4,-,-,2,3,-,-,5,-,-,1,-,-,-,-,-}
{-,-,-,4,-,-,2,-,-,-,5,-,-,1,-,-,3,-,-}
{-,-,-,4,-,-,2,-,-,-,5,-,3,1,-,-,-,-,-}
{-,-,-,4,-,-,-,3,-,1,-,2,-,-,-,-,-,5,-}
{-,-,-,4,-,-,-,3,-,1,5,2,-,-,-,-,-,-,-}
{-,-,-,4,-,-,-,3,-,-,-,2,-,1,-,-,-,5,-}
{-,-,-,4,-,-,-,3,-,-,-,2,-,-,-,-,-,5,1}
{-,-,-,4,-,-,-,3,-,-,5,-,-,1,-,2,-,-,-}
{-,-,-,4,-,-,-,3,-,-,5,2,-,1,-,-,-,-,-}
{-,-,-,4,5,1,2,3,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-}
{-,-,-,4,5,1,-,3,-,-,-,2,-,-,-,-,-,-,-}
{-,-,-,4,5,-,2,-,-,1,-,-,3,-,-,-,-,-,-}
{-,-,-,4,5,-,2,3,-,1,-,-,-,-,-,-,-,-,-}
{-,-,-,4,5,-,-,3,-,1,-,2,-,-,-,-,-,-,-}
{-,-,-,4,5,-,-,3,-,-,-,2,-,1,-,-,-,-,-}
{-,-,-,-,5,1,2,3,4,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-}
{-,-,-,-,5,1,2,-,4,-,-,-,3,-,-,-,-,-,-}
{-,-,-,-,5,1,-,3,-,-,-,2,-,-,4,-,-,-,-}
{-,-,-,-,5,1,-,3,4,-,-,2,-,-,-,-,-,-,-}
{-,-,-,-,5,1,-,-,4,-,-,2,3,-,-,-,-,-,-}
{-,-,-,-,5,1,-,-,4,-,-,-,3,-,-,2,-,-,-}
{-,-,-,-,5,-,2,-,-,1,-,-,3,-,4,-,-,-,-}
{-,-,-,-,5,-,2,-,-,1,-,-,-,-,4,-,3,-,-}
{-,-,-,-,5,-,2,3,-,1,-,-,-,-,4,-,-,-,-}
{-,-,-,-,5,-,2,3,4,1,-,-,-,-,-,-,-,-,-}
{-,-,-,-,5,-,2,-,4,1,-,-,3,-,-,-,-,-,-}
{-,-,-,-,5,-,2,-,4,-,-,-,3,1,-,-,-,-,-}
{-,-,-,-,5,-,-,3,-,1,-,2,-,-,4,-,-,-,-}
{-,-,-,-,5,-,-,3,-,1,-,-,-,-,4,2,-,-,-}
{-,-,-,-,5,-,-,3,-,-,-,2,-,1,4,-,-,-,-}
{-,-,-,-,5,-,-,3,-,-,-,2,-,-,4,-,-,-,1}
{-,-,-,-,5,-,-,3,4,1,-,2,-,-,-,-,-,-,-}
{-,-,-,-,5,-,-,3,4,-,-,2,-,1,-,-,-,-,-}
{-,-,-,-,5,-,-,-,4,1,-,2,3,-,-,-,-,-,-}
{-,-,-,-,5,-,-,-,4,1,-,-,3,-,-,2,-,-,-}
{-,-,-,-,5,-,-,-,4,-,-,2,-,1,-,-,3,-,-}
{-,-,-,-,5,-,-,-,4,-,-,2,3,1,-,-,-,-,-}
{-,-,-,-,5,-,-,-,4,-,-,-,3,1,-,2,-,-,-}
{-,-,-,-,5,-,-,-,4,-,-,-,3,-,-,2,-,-,1}
---End---
Some upper bounds (not necessarily the strongest known) for a(6) through a(19) are 28, 39, 52, 67, 84, 103, 124, 147, 172, 199, 227, 258, 291 and 326. [From Jon E. Schoenfield (jonscho(AT)hiwaay.net), Sep 13 2008]
Contribution from Jon E. Schoenfield (jonscho(AT)hiwaay.net), Jul 27 2009: (Start)
For n > 2, a(n) <= (n-1)^2 + 3, and an easy solution at this upper bound can be obtained by cycling n-3 times through the digits 2 through n and appending the digits 2 and 3 once at the end, inserting a 1 at the beginning and after every n-2 digits thereafter until the last digit is reached, and finally preappending the digits 1 through n. E.g.:
. n=3 (7 digits): 123 1 2 1 3
. n=4 (12 digits): 1234 1 23 1 42 1 3
. n=5 (19 digits): 12345 1 234 1 523 1 452 1 3
. n=6 (28 digits): 123456 1 2345 1 6234 1 5623 1 4562 1 3
. n=7 (39 digits): 1234567 1 23456 1 72345 1 67234 1 56723 1 45672 1 3
Equivalently, for n > 2, the i-th digit can be computed as
. i for i <= n
. 1 for i > n and (i-2) mod (n-1) = 0
. int((i-1)*(n-2)/(n-1)) mod (n-1) + 2 otherwise
However, the above approach is not always optimal; e.g., at n = 16, it gives a valid solution in (16-1)^2 + 3 = 228 digits, but the following (using the letters a through g for the numbers 10 through 16) is an example of a 227-digit solution:
. 123456789a bcdefg1234 56789abcde f1g2345678 9abcde1f2g
. 3456789abc d1e2f3g456 789abc1d2e 3f4g56789a b1c2d3e4f5
. g6789a1b2c 3d4e5f6g78 91a2b3c4d5 e6f7g8192a 3b4c5d6e7f
. 18g293a4b5 c6d17ef82g 394a5b16cd 7ef283g491 56abcd7e2f
. 3814569abc dg72e13456 89abcdf
(End)
|
