A084558 - OEIS

%I #74 Sep 19 2024 08:28:12

%S 0,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,

%T 4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,

%U 4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5

%N a(0) = 0; for n >= 1: a(n) = largest m such that n >= m!.

%C For n >= 1, a(n) = the number of significant digits in n's factorial base representation (A007623).

%C After zero, which occurs once, each n occurs A001563(n) times.

%C Number of iterations (...f_4(f_3(f_2(n))))...) such that the result is < 1, where f_j(x):=x/j. - _Hieronymus Fischer_, Apr 30 2012

%C For n > 0: a(n) = length of row n in table A108731. - _Reinhard Zumkeller_, Jan 05 2014

%D F. Smarandache, "f-Inferior and f-Superior Functions - Generalization of Floor Functions", Arizona State University, Special Collections.

%H Reinhard Zumkeller, <a href="/A084558/b084558.txt">Table of n, a(n) for n = 0..10000</a>

%H Yi Yuan and Zhang Wenpeng, <a href="http://www.gallup.unm.edu/~smarandache/S-analogue-f.pdf">On the Mean Value of the Analogue of Smarandache Function</a>, Smarandache Notions J., Vol. 15.

%F From _Hieronymus Fischer_, Apr 30 2012: (Start)

%F a(n!) = a((n-1)!)+1, for n>1.

%F G.f.: 1/(1-x)*Sum_{k>=1} x^(k!).

%F The explicit first terms of the g.f. are: (x+x^2+x^6+x^24+x^120+x^720...)/(1-x).

%F (End)

%F Other identities:

%F For all n >= 0, a(n) = A090529(n+1) - 1. - _Reinhard Zumkeller_, Jan 05 2014

%F For all n >= 1, a(n) = A060130(n) + A257510(n). - _Antti Karttunen_, Apr 27 2015

%e a(4) = 2 because 2! <= 4 < 3!.

%p 0, seq(m$(m*m!),m=1..5); # _Robert Israel_, Apr 27 2015

%t Table[m = 1; While[m! <= n, m++]; m - 1, {n, 0, 104}] (* _Jayanta Basu_, May 24 2013 *)

%t Table[Floor[Last[Reduce[x! == n && x > 0, x]]], {n, 120}] (* _Eric W. Weisstein_, Sep 13 2024 *)

%o (Haskell)

%o a084558 n = a090529 (n + 1) - 1  -- _Reinhard Zumkeller_, Jan 05 2014

%o (PARI) a(n)={my(m=0);while(n\=m++,);m-1} \\ _R. J. Cano_, Apr 09 2018

%o (Python)

%o def A084558(n):

%o   i=1

%o   while n: i+=1; n//=i

%o   return(i-1)

%o print(list(map(A084558,range(101)))) # _Nathan L. Skirrow_, May 28 2023

%Y A dual to A090529.

%Y Cf. A084555, A084556, A084557.

%Y Cf. A001069, A010096.

%Y Cf. A000142, A001563, A055089, A060130, A111095, A211664, A211670, A108731, A212598, A220656, A220657, A220658, A220659, A231716, A235224, A257510.

%K nonn,easy

%O 0,3

%A _Antti Karttunen_, Jun 23 2003

%E Name clarified by _Antti Karttunen_, Apr 27 2015