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User:Peter Luschny/PermutationTypes

From OeisWiki

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Seven ways to display the 24 permutations of 1, 2, 3, 4.

Type Chess-Board Tableaux Line & Cycle  Tree Caterpillar Orbital
A

[1]
*      
  *    
    *  
      *
1 2 3 4
       
1 2 3 4
       
Line
1-2-3-4
Cycle
(1)(2)(3)(4)
    *    
    1    
    2    
    3    
    4    
 
1234^^^^
 
 
[-3, -1, 1, 3]
α
B

[2]
*      
  *    
      *
    *  
1 2 3  
4      
1 2 3  
4      
Line
1-2-4-3
Cycle
(1)(2)(3,4)
    *    
    1    
    2    
  3   4  
         
 
124^3^^^
 
 
[-3, -1, 3, 1]
α
C

[3]
*      
    *  
  *    
      *
1 2 4  
3      
1 2 4  
3      
Line
1-3-2-4
Cycle
(1)(2,3)(4)
    *    
    1    
  2   3  
  4      
         
 
13^24^^^
 
 
[-3, 1, -1, 3]
β
C

[4]
*      
    *  
      *
  *    
1 2 4  
3      
1 2 3  
4      
Line
1-3-4-2
Cycle
(1)(2,3,4)
    *    
  1    
  2   3  
      4  
         
 
134^^2^^
 
 
[-3, 1, 3, -1]
γ
C

[5]
*      
      *
  *    
    *  
1 2 3  
4      
1 2 4  
3      
Line
1-4-2-3
Cycle
(1)(2,4,3)
    *    
    1    
  2   4  
  3      
         
 
14^23^^^
 
 
[-3, 3, -1, 1]
β
D

[6]
  *    
*      
    *  
      *
1 3 4  
2      
1 3 4  
2      
Line
2-1-3-4
Cycle
(1,2)(3)(4)
    *    
   1    2  
  3      
  4      
         
 
2^134^^^
 
 
[-1, -3, 1, 3]
α
D

[7]
  *    
    *  
      *
*      
1 3 4  
2      
1 2 3  
4      
Line
2-3-4-1
Cycle
(1,2,3,4)
    *    
  1   2  
      3  
      4  
         
 
234^^^1^
 
 
[-1, 1, 3, -3]
γ
D

[8]
    *  
*      
  *    
      *
1 2 4  
3      
1 3 4  
2      
Line
3-1-2-4
Cycle
(1,3,2)(4)
    *    
  1   3  
  2      
  4      
         
 
3^124^^^
 
 
[1, -3, -1, 3]
δ
D

[9]
      *
*      
  *    
    *  
1 2 3  
4      
1 3 4  
2      
Line
4-1-2-3
Cycle
(1,4,3,2)
    *    
  1   4  
  2      
  3      
         
 
4^123^^^
 
 
[3, -3, -1, 1]
δ
E

[10]
*      
      *
    *  
  *    
1 2 1 2
3   3  
4   4  
       
Line
1-4-3-2
Cycle
(1)(2,4)(3)
    *    
    1    
  2 3 4  
       
         
 
14^3^2^^
 
 
[-3, 3, 1, -1]
γ
F

[11]
  *    
*      
      *
    *  
1 3    
2 4    
1 3    
2 4    
Line
2-1-4-3
Cycle
(1,2)(3,4)
    *    
  1   2  
3 4    
         
         
 
2^14^3^^
 
 
[-1, -3, 3, 1]
α
F

[12]
  *    
      *
    *  
*      
1 3 1 2
2   3  
4   4  
       
Line
2-4-3-1
Cycle
(1,2,4)(3)
    *    
  1   2  
      3 4
         
         
 
24^3^^1^
 
 
[-1, 3, 1, -3]
γ
F

[13]
    *  
*      
      *
  *    
1 2 1 3
3 4 2 4
       
       
Line
3-1-4-2
Cycle
(1,3,4,2)
    *    
  1   3  
2 4      
         
         
 
3^14^2^^
 
 
[1, -3, 3, -1]
ε
F

[14]
      *
*      
    *  
  *    
1 2 1 3
3   2  
4   4  
       
Line
4-1-3-2
Cycle
(1,4,2)(3)
    *    
  1   4  
2 3    
         
         
 
4^13^2^^
 
 
[3, -3, 1, -1]
ε
G

[15]
  *    
    *  
*      
      *
1 3 4  
2      
1 2 4  
3      
Line
2-3-1-4
Cycle
(1,2,3)(4)
    *    
  1   2  
  4   3  
         
         
 
23^^14^^
 
 
[-1, 1, -3, 3]
β
G

[16]
    *  
      *
*      
  *    
1 2 1 2
3 4 3 4
       
       
Line
3-4-1-2
Cycle
(1,3)(2,4)
    *    
  1 3  
  2 4  
         
         
 
34^^12^^
 
 
[1, 3, -3, -1]
ζ
G

[17]
  *    
      *
*      
    *  
1 3    
2 4    
1 2    
3 4    
Line
2-4-1-3
Cycle
(1,2,4,3)
    *    
  1   2  
  3   4  
         
         
 
24^^13^^
 
 
[-1, 3, -3, 1]
β
H

[18]
    *  
  *    
*      
      *
1 4 1 4
2   2  
3   3  
       
Line
3-2-1-4
Cycle
(1,3)(2)(4)
    *    
1   2   3
4        
         
         
 
3^2^14^^
 
 
[1, -1, -3, 3]
δ
H

[19]
    *  
  *    
      *
*      
1 4 1 3
2   2  
3   4  
       
Line
3-2-4-1
Cycle
(1,3,4)(2)
    *    
1   2   3
    4    
         
         
 
3^24^^1^
 
 
[1, -1, 3, -3]
ε
H

[20]
    *  
      *
  *    
*      
1 4 1 2
2   3  
3   4  
       
Line
3-4-2-1
Cycle
(1,3,2,4)
    *    
1   2   3
        4
       
         
 
34^^2^1^
 
 
[1, 3, -1, -3]
ζ
H

[21]
      *
  *    
*      
    *  
1 3 1 4
2   2  
4   3  
       
Line
4-2-1-3
Cycle
(1,4,3)(2)
    *    
1   2   4
3      
         
         
 
4^2^13^^
 
 
[3, -1, -3, 1]
δ
H

[22]
      *
  *    
    *  
*      
1 3 1 3
2   2  
4   4  
       
Line
4-2-3-1
Cycle
(1,4)(2)(3)
    *    
1   2   4
    3    
         
         
 
4^23^^1^
 
 
[3, -1, 1, -3]
ε
H

[23]
      *
    *  
*      
  *    
1 2 1 4
3   2  
4   3  
       
Line
4-3-1-2
Cycle
(1,4,2,3)
    *    
1   3   4
2        
         
         
 
4^3^12^^
 
 
[3, 1, -3, -1]
ζ
I

[24]
      *
    *  
  *    
*      
1   1  
2   2  
3   3  
4   4  
Line
4-3-2-1
Cycle
(1,4)(2,3)
    *    
1 2   3 4
         
         
         
 
4^3^2^1^
 
 
[3, 1, -1, -3]
ζ

The type of the permutation is the type of the unlabeled rooted tree it is associated with. Labeled rooted trees are of the same type if they are equal under branch rotation. In our example there are nine types (A,B,..,I), 1+1+3+4+1+4+3+6+1 = 24 = 4!. This is a refinement of the factorial numbers. (See also Frank Ruskey's page).

This article is continued in Permutation Trees.

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