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n-alternating permutations of length 4n.
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%I #18 Aug 13 2019 02:15:56

%S 1,1385,315523,60376809,11593285251,2301250545971,472105349529479,

%T 99537885358650089,21451428576293883859,4705284467293276073635,

%U 1047067375984978044542143,235809039854522043890582835,53644722291938408687646120103,12309355014854205055828909176039

%N n-alternating permutations of length 4n.

%C a(n) = A181985(n,4).

%H Peter Luschny, <a href="http://oeis.org/wiki/User:Peter_Luschny/SeidelTransform">An old operation on sequences: the Seidel transform</a>.

%H Ludwig Seidel, <a href="https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.32044092897461&amp;view=1up&amp;seq=175">Über eine einfache Entstehungsweise der Bernoulli'schen Zahlen und einiger verwandten Reihen</a>, Sitzungsberichte der mathematisch-physikalischen Classe der königlich bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München, volume 7 (1877), 157-187. [USA access only through the <a href="https://www.hathitrust.org/accessibility">HATHI TRUST Digital Library</a>]

%H Ludwig Seidel, <a href="https://www.zobodat.at/pdf/Sitz-Ber-Akad-Muenchen-math-Kl_1877_0157-0187.pdf">Über eine einfache Entstehungsweise der Bernoulli'schen Zahlen und einiger verwandten Reihen</a>, Sitzungsberichte der mathematisch-physikalischen Classe der königlich bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München, volume 7 (1877), 157-187. [Access through <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/ZOBODAT">ZOBODAT</a>]

%F a(n) = (4*n)!*(-1/(4*n)! + 2/(n!*(3*n)!) + 1/(2*n)!^2 - 3/(n!^2*(2*n)!) + 1/n!^4). - _Peter Luschny_, Aug 13 2015

%p A181991 := proc(n) local E, dim, i, k; dim := 4*n;

%p E := array(0..dim, 0..dim); E[0, 0] := 1;

%p for i from 1 to dim do

%p if i mod n = 0 then E[i, 0] := 0 ;

%p for k from i-1 by -1 to 0 do E[k, i-k] := E[k+1, i-k-1] + E[k, i-k-1] od;

%p else E[0, i] := 0;

%p for k from 1 by 1 to i do E[k, i-k] := E[k-1, i-k+1] + E[k-1, i-k] od;

%p fi od; E[0, dim] end:

%p seq(A181991(n), n = 1..14);

%p # Alternatively:

%p a := (x) -> (4*x)!*(-1/(4*x)!+2/x!/(3*x)!+1/(2*x)!^2-3/x!^2/(2*x)!+1/x!^4):

%p seq(a(n), n=1..14); # _Peter Luschny_, Aug 13 2015

%t A181985[n_, len_] := Module[{e, dim = n*(len - 1)}, e[0, 0] = 1; For[i = 1, i <= dim, i++, If[Mod[i, n] == 0, e[i, 0] = 0; For[k = i - 1, k >= 0, k--, e[k, i - k] = e[k + 1, i - k - 1] + e[k, i - k - 1]], e[0, i] = 0; For[k = 1, k <= i, k++, e[k, i - k] = e[k - 1, i - k + 1] + e[k - 1, i - k]]]]; Table[e[0, n*k], {k, 0, len - 1}]]; a[n_] := A181985[n, 4 + 1][[4 + 1]]; Table[a[n], {n, 1, 14}] (* _Jean-François Alcover_, Dec 17 2013, after Maple code in A181985 *)

%Y Cf. A181985, A030662, A211213.

%K nonn

%O 1,2

%A _Peter Luschny_, Apr 05 2012