A335305 details for n=7.

The below show the different ways of creating a closed loop for n=7 given the first step is of length 1 to the right
and the next non-right step is upward.

There are 84 different closed loops paths. The number to the right of the loop indicates the number of different ways that loop can be walked.
If no number is shown then the walk can be taken in two ways. Two ways result as, other than the rectangular paths, each path has six sides,
so one of those sides will be composed of two steps. These two steps can be taken in either order, giving two ways for the path to be walked.
Some of the paths can be taken in four ways as the loop has two sides of length 7 - one is the step of length 7 while the other is composed
of two steps of combined length 7, for example 3 and 4. The shorter steps can be taken in either order, while those steps can be swapped with
the single step of length 7, given a total of four combinations in all. The non-square rectangular paths have three legs with two pairs,
both steps can be swapped, and the right and left edge pairs can also be swapped to the other side, giving total combinations of (2*2*2) * 2 = 16.
The single perfect square has three sides where the pairs can be swapped, but also the right,left and top edge can be walked in any order,
giving total combinations of (2*2*2)*3! = 48;

The total number of loops, including different step combinations, for the configurations shown below is 96+36+60+24+72 = 288.
Each of these can also be created with a walk starting with a first step of length 2 to 7 to the right, with the next non-right step being upward,
so the total number when all first steps are considered is 288*7 = 2016.

On the 2D square lattice the first step can be in one of four directions, and the next step not in the same direction can be
either up/down or left/right, so there are 8 different ways in all. This gives the final total number of ways in which a loop of seven steps
can be created, with step-lengths 1 to 7 and where the steps can be taken in any order, as 2016*8 = 16128.


Key: 'X' marks the start of the walk, which is followed by a first step of length 1 to the right then a next non-right step being upward.
     '+' marks the end of each step of length 1..n.
     '*' marks the unit lengths along each step.
     '-' or '|' mark the unit step lengths in the given direction.

==========================================================================================

4 types for rectangle. Total = 16+48+16+16 = 96

+---*---*---*---*---+---*---*---+
|                               |
*                               *
|                               |
*                               *
|                               |
*                               *  16
|                               |
*                               +
|                               |
*                               *
|                               |
+---*---*---*---*---*---*---X---+

+---*---*---*---+---*---*---+
|                           |
*                           *
|                           |
*                           *
|                           |
*                           *
|                           |  48
*                           *
|                           |
*                           +
|                           |
*                           *
|                           |
+---*---*---*---*---*---X---+

+---*---*---*---*---+
|                   |
*                   *
|                   |
*                   *
|                   |
+                   *
|                   |
*                   *
|                   |  16
*                   *
|                   |
*                   *
|                   |
*                   +
|                   |
*                   *
|                   |
+---*---*---*---X---+

+---*---*---+
|           |
*           *
|           |
*           *
|           |
*           *
|           |
*           *
|           |
+           *
|           |  16
*           *
|           |
*           +
|           |
*           *
|           |
*           *
|           |
*           *
|           |
X---+---*---+


===================================

14 types for lower-left corner removed. Total = 10*2+4*4 = 36

+---*---*---*---*---+
|                   |
*                   *
|                   |
+---*---*---*---+   *
                |   |
                *   *
                |   |
                *   *
                |   |
                *   *
                |   |
                *   +
                |   |
                *   *
                |   |
                *   *
                |   |
                X---+
+---*---*---+
|           |
*           *
|           |
*           *
|           |
*           *
|           |
+---*---+   *
        |   |
        *   *
        |   |
        *   +
        |   |
        *   *
        |   |
        *   *
        |   |
        *   *
        |   |
        *   *
        |   |
        X---+

+---*---*---*---*---+
|                   |
*                   *
|                   |
*                   *
|                   |
+---*---*---*---+   *
                |   |
                *   *
                |   |
                *   *
                |   |
                *   *
                |   |
                *   +
                |   |
                *   *
                |   |
                X---+
+---*---*---+
|           |
*           *
|           |
*           *
|           |
*           *
|           |
*           *
|           |
+---*---+   *
        |   |
        *   *
        |   |
        *   +
        |   |
        *   *
        |   |
        *   *
        |   |
        *   *
        |   |
        X---+

 +---*---*---*---*---*---*---+
 |                           |
 *                           *
 |                           |
 +---*---*---*---*---*---+   *
                         |   |
                         *   *
                         |   |  4
                         *   +
                         |   |
                         *   *
                         |   |
                         *   *
                         |   |
                         X---+
+---*---*---+
|           |
*           *
|           |
*           *
|           |
*           *
|           |
*           *
|           |
*           *
|           |
+---*---+   *
        |   |
        *   +
        |   |
        *   *
        |   |
        *   *
        |   |
        *   *
        |   |
        X---+

+---*---*---*---*---+---*---*---+
|                               |
*                               *
|                               |
+---*---*---*---*---*---*---+   *
                            |   |
                            *   *
                            |   |
                            *   *
                            |   |
                            *   *
                            |   |
                            X---+

+---*---*---*---*---*---*---+
|                           |
*                           *
|                           |
*                           *
|                           |
+---*---*---*---*---*---+   *  4
                        |   |
                        *   *
                        |   |
                        *   +
                        |   |
                        *   *
                        |   |
                        X---+
+---*---*---+
|           |
*           *
|           |
*           *
|           |
*           *
|           |
*           *
|           |
*           *
|           |
*           +
|           |
+---*---+   *
        |   |
        *   *
        |   |
        *   *
        |   |
        *   *
        |   |
        X---+

+---*---*---*---*---*---*---+
|                           |
*                           *
|                           |
*                           *
|                           |
*                           *
|                           |  4
+---*---*---*---*---*---+   *
                        |   |
                        *   +
                        |   |
                        *   *
                        |   |
                        X---+
+---*---*---*---*---+
|                   |
*                   *
|                   |
*                   *
|                   |
*                   *
|                   |
*                   *
|                   |
*                   *
|                   |
+---*---*---*---+   *
                |   |
                *   +
                |   |
                *   *
                |   |
                X---+

+---*---*---*---*---+---*---*---+
|                               |
*                               *
|                               |
*                               *
|                               |
*                               *
|                               |
+---*---*---*---*---*---*---+   *
                            |   |
                            *   *
                            |   |
                            X---+

+---*---*---*---*---*---*---+
|                           |
*                           *
|                           |
*                           *
|                           |
*                           *  4
|                           |
*                           +
|                           |
+---*---*---*---*---*---+   *
                        |   |
                        *   *
                        |   |
                        X---+
+---*---*---*---*---+
|                   |
*                   *
|                   |
*                   *
|                   |
*                   *
|                   |
*                   *
|                   |
*                   *
|                   |
*                   +
|                   |
+---*---*---*---+   *
                |   |
                *   *
                |   |
                X---+


===================================

26 types for upper-left corner removed. Total = 22*2+4*4 = 60.

    +---*---+
    |       |
    *       *
    |       |
    *       *
    |       |
    *       *
    |       |
X---+       *
|           |
*           +
|           |
*           *
|           |
*           *
|           |
*           *
|           |
*           *
|           |
*           *
|           |
+---*---*---+

    +---*---*---*---+
    |               |
    *               *
    |               |
X---+               *
|                   |
*                   +
|                   |
*                   *
|                   |
*                   *
|                   |
*                   *
|                   |
*                   *
|                   |
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    +---*---*---*---*---*---+
    |                       |
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    |                       |
X---+                       *
|                           |
*                           +
|                           |  4
*                           *
|                           |
*                           *
|                           |
*                           *
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+---*---*---*---*---*---*---+

                    +---*---+
                    |       |
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                    |       |
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    *                       +
    |                       |
X---+                       *
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*                           *
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*                           *
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    |                           |
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    +---*---*---*---*---*---+
    |                       |
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    |                       |
    *                       +
    |                       |
    *                       *
    |                       |
X---+                       *  4
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*                           *
|                           |
*                           *
|                           |
+---*---*---*---*---*---*---+

                    +---*---*---+
                    |           |
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                    *           *
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+---*---*---*---*---+           *
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+---*---*---*---*---*---*---X---+

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            *                   *
            |                   |
+---*---*---+                   *
|                               |
*                               *
|                               |
+---*---*---*---*---*---*---X---+

    +---*---*---*---+
    |               |
    *               *
    |               |
    *               *
    |               |
    *               +
    |               |
    *               *
    |               |
    *               *
    |               |
    *               *
    |               |
X---+               *
|                   |
*                   *
|                   |
+---*---*---*---*---+

    +---*---*---*---*---*---+
    |                       |
    *                       *
    |                       |
    *                       *
    |                       |
    *                       +
    |                       |  4
    *                       *
    |                       |
X---+                       *
|                           |
*                           *
|                           |
+---*---*---*---*---*---*---+

    +---*---*---*---*---*---*---+
    |                           |
    *                           *
    |                           |
    *                           *
    |                           |
    *                           *
    |                           |
X---+                           *
|                               |
*                               *
|                               |
+---*---*---*---*---+---*---*---+


======================================

12 types for upper-left corner removed. Total = 12*2 = 24.

+---*---*---*---*---+
|                   |
*                   *
|                   |
*                   *
|                   |
*                   *
|                   |
*                   +---*---*---+
|                               |
*                               *
|                               |
+---*---*---*---*---*---*---X---+

+---*---*---*---*---+
|                   |
*                   *
|                   |
*                   *
|                   |
*                   *
|                   |
*                   +---*---+
|                           |
*                           *
|                           |
*                           *
|                           |
+---*---*---*---*---*---X---+

+---*---*---*---*---+
|                   |
*                   *
|                   |
*                   *
|                   |
*                   +---*---+
|                           |
*                           *
|                           |
*                           *
|                           |
*                           *
|                           |
+---*---*---*---*---*---X---+

+---*---*---*---*---+
|                   |
*                   *
|                   |
*                   +---*---*---+
|                               |
*                               *
|                               |
*                               *
|                               |
*                               *
|                               |
+---*---*---*---*---*---*---X---+

+---*---*---*---+
|               |
*               *
|               |
*               *
|               |
*               *
|               |
*               *
|               |
*               +---*---*---+
|                           |
*                           *
|                           |
+---*---*---*---*---*---X---+

+---*---*---*---+
|               |
*               *
|               |
*               +---*---*---+
|                           |
*                           *
|                           |
*                           *
|                           |
*                           *
|                           |
*                           *
|                           |
+---*---*---*---*---*---X---+

+---*---*---+
|           |
*           *
|           |
*           *
|           |
*           *
|           |
*           *
|           |
*           +---*---*---*---+
|                           |
*                           *
|                           |
+---*---*---*---*---*---X---+

+---*---*---+
|           |
*           *
|           |
*           *
|           |
*           *
|           |
*           +---*---*---*---*---+
|                               |
*                               *
|                               |
+---*---*---*---*---*---*---X---+

+---*---*---+
|           |
*           *
|           |
*           +---*---*---*---+
|                           |
*                           *
|                           |
*                           *
|                           |
*                           *
|                           |
*                           *
|                           |
+---*---*---*---*---*---X---+

+---*---*---+
|           |
*           *
|           |
*           +---*---*---*---*---+
|                               |
*                               *
|                               |
*                               *
|                               |
*                               *
|                               |
+---*---*---*---*---*---*---X---+

+---*---+
|       |
*       *
|       |
*       *
|       |
*       *
|       |
*       +---*---*---*---*---+
|                           |
*                           *
|                           |
*                           *
|                           |
+---*---*---*---*---*---X---+

+---*---+
|       |
*       *
|       |
*       *
|       |
*       +---*---*---*---*---+
|                           |
*                           *
|                           |
*                           *
|                           |
*                           *
|                           |
+---*---*---*---*---*---X---+


======================================

28 types for lower-right corner removed. Total = 20*2+8*4 = 72.

+---*---*---*---*---+---*---*---+
|                               |
*                               *
|                               |
*                           X---+
|                           |
*                           *
|                           |
*                           *
|                           |
*                           *
|                           |
+---*---*---*---*---*---*---+

+---*---*---*---*---+---*---*---+
|                               |
*                               *
|                               |
*                               *
|                               |
*                               *
|                               |
*                           X---+
|                           |
*                           *
|                           |
+---*---*---*---*---*---*---+

+---*---*---*---+---*---*---+
|                           |
*                           *
|                           |
*                       X---+
|                       |
*                       *  4
|                       |
*                       *
|                       |
*                       *
|                       |
*                       *
|                       |
+---*---*---*---*---*---+

+---*---*---*---*---+---*---+
|                           |
*                           *
|                           |
*                           *
|                           |
*                       X---+  4
|                       |
*                       *
|                       |
*                       *
|                       |
*                       *
|                       |
+---*---*---*---*---*---+

+---*---*---*---*---+---*---+
|                           |
*                           *
|                           |
*                           *
|                           |
*                           *  4
|                           |
*                       X---+
|                       |
*                       *
|                       |
*                       *
|                       |
+---*---*---*---*---*---+

+---*---*---*---+---*---*---+
|                           |
*                           *
|                           |
*                           *
|                           | 4
*                           *
|                           |
*                           *
|                           |
*                       X---+
|                       |
*                       *
|                       |
+---*---*---*---*---*---+

+---*---*---*---*---+
|                   |
*                   *
|                   |
*               X---+
|               |
+               *
|               |
*               *
|               |
*               *
|               |
*               *
|               |
*               *
|               |
*               *
|               |
+---*---*---*---+

+---*---*---*---*---+
|                   |
*                   *
|                   |
+                   *
|                   |
*               X---+
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+---*---*---*---+

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+                   *
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*               X---+
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*               *
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*               *
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+---*---*---*---+

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*                   *
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*                   *
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+                   *
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*                   *
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*                   *
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*                   *
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*               X---+
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*               *
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+---*---*---*---+

+---*---*---+
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*           *
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*       X---+
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+---*---+

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+           *
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*       X---+
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+---*---+

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