Submitted by Jon E. Schoenfield, 11 Apr 2015: Regarding the "Boomerang Fractions" of OEIS sequence A256174, consider the upper bound UB(a(n)) obtained by determining the shortest path to return to 1 under the following additional constraint: The number of consecutive "add 1/n" steps immediately before each "take the reciprocal" step must be a multiple of n. The table below gives, for n in [2..10000], that upper bound UB(a(n)), along with a solution that uses exactly that number of steps and, if more than one such solution exists, minimizes the number of "take the reciprocal" steps. For a given value of n, the corresponding row of the table gives the following parameters: n the index of the sequence UB(a(n)) the minimal number of steps to return to 1, under the additional constraint R the number of "take the reciprocal" steps f the number of "add 1/n" steps after the final "take the reciprocal" step N(1)..N(R) the number of groups of n "add 1/n" steps immediately before the j-th "take the reciprocal" step, for j=1..R For example, the row for n=19 reads 19 126 5 7 1 2 1 1 1 which means that, at n=19, under the additional constraint, - the minimal number of steps to return to 1 is 126 - at least 5 "take the reciprocal" steps must be used to obtain a 126-step solution - a 126-step solution, starting with 1 and using 5 "take the reciprocal" steps, can be obtained as follows: resulting value after --------------------- add reciprocal steps step ===== ========== n*1 = 19 add steps................ 1 + 19/19 = 2 1 reciprocal step (#1).............................. 1/2 n*2 = 38 add steps............... 1/2 + 38/19 = 5/2 1 reciprocal step (#2).............................. 2/5 n*1 = 19 add steps............... 2/5 + 19/19 = 7/5 1 reciprocal step (#3).............................. 5/7 n*1 = 19 add steps............... 5/7 + 19/19 = 12/7 1 reciprocal step (#4).............................. 7/12 n*1 = 19 add steps............... 7/12 + 19/19 = 19/12 1 reciprocal step (#5)............................. 12/19 f = 7 add steps.............. 12/19 + 7/19 = 1 --- Total: 126 steps. Number of groups of n "add 1/n" steps immediately before the j-th "take reciprocal" step; j = ... ----------------------------------------------------- n UB(n) R f 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ===== ====== == ==== == == == == == == == == == == == == == == == == == == 2 4 1 1 1 3 9 1 2 2 4 7 1 2 1 5 20 2 3 1 2 6 10 1 3 1 7 33 3 2 1 2 1 8 13 1 4 1 9 23 2 3 1 1 10 16 1 5 1 11 62 4 3 1 1 2 1 12 19 1 6 1 13 75 5 5 1 1 1 1 1 14 22 1 7 1 15 37 2 5 1 1 16 25 1 8 1 17 111 4 5 1 2 2 1 18 28 1 9 1 19 126 5 7 1 2 1 1 1 20 31 1 10 1 21 51 2 7 1 1 22 34 1 11 1 23 171 5 5 1 1 1 3 1 24 37 1 12 1 25 88 3 10 1 1 1 26 40 1 13 1 27 65 2 9 1 1 28 43 1 14 1 29 217 6 8 1 1 1 1 2 1 30 46 1 15 1 31 235 6 12 1 2 1 1 1 1 32 49 1 16 1 33 79 2 11 1 1 34 52 1 17 1 35 122 3 14 1 1 1 36 55 1 18 1 37 310 6 8 1 1 1 1 3 1 38 58 1 19 1 39 93 2 13 1 1 40 61 1 20 1 41 345 5 12 1 2 2 2 1 42 64 1 21 1 43 362 6 12 1 2 1 1 2 1 44 67 1 22 1 45 107 2 15 1 1 46 70 1 23 1 47 396 7 13 1 1 1 1 1 2 1 48 73 1 24 1 49 213 3 14 1 2 1 50 76 1 25 1 51 121 2 17 1 1 52 79 1 26 1 53 494 5 12 1 2 2 3 1 54 82 1 27 1 55 190 3 22 1 1 1 56 85 1 28 1 57 135 2 19 1 1 58 88 1 29 1 59 555 6 18 1 1 1 3 2 1 60 91 1 30 1 61 572 6 17 2 2 1 1 2 1 62 94 1 31 1 63 149 2 21 1 1 64 97 1 32 1 65 224 3 26 1 1 1 66 100 1 33 1 67 628 7 18 1 1 1 2 1 2 1 68 103 1 34 1 69 163 2 23 1 1 70 106 1 35 1 71 667 7 21 1 1 1 1 2 2 1 72 109 1 36 1 73 691 7 27 1 1 2 2 1 1 1 74 112 1 37 1 75 177 2 25 1 1 76 115 1 38 1 77 333 3 22 1 2 1 78 118 1 39 1 79 748 8 29 1 1 1 1 2 1 1 1 80 121 1 40 1 81 191 2 27 1 1 82 124 1 41 1 83 855 6 19 1 2 1 2 3 1 84 127 1 42 1 85 292 3 34 1 1 1 86 130 1 43 1 87 205 2 29 1 1 88 133 1 44 1 89 844 9 34 1 1 1 1 1 1 1 1 1 90 136 1 45 1 91 393 3 26 1 2 1 92 139 1 46 1 93 219 2 31 1 1 94 142 1 47 1 95 326 3 38 1 1 1 96 145 1 48 1 97 999 8 21 1 1 1 1 1 1 3 1 98 148 1 49 1 99 233 2 33 1 1 100 151 1 50 1 101 1047 7 30 1 1 2 1 2 2 1 102 154 1 51 1 103 1075 8 37 1 1 1 1 3 1 1 1 104 157 1 52 1 105 247 2 35 1 1 106 160 1 53 1 107 1119 8 41 1 3 1 1 1 1 1 1 108 163 1 54 1 109 1128 8 30 1 1 2 1 1 1 2 1 110 166 1 55 1 111 261 2 37 1 1 112 169 1 56 1 113 1271 7 21 1 1 1 1 2 4 1 114 172 1 57 1 115 394 3 46 1 1 1 116 175 1 58 1 117 275 2 39 1 1 118 178 1 59 1 119 513 3 34 1 2 1 120 181 1 60 1 121 642 4 33 1 1 2 1 122 184 1 61 1 123 289 2 41 1 1 124 187 1 62 1 125 428 3 50 1 1 1 126 190 1 63 1 127 1431 7 27 1 1 2 2 1 3 1 128 193 1 64 1 129 303 2 43 1 1 130 196 1 65 1 131 1369 9 50 1 2 1 1 1 1 1 1 1 132 199 1 66 1 133 573 3 38 1 2 1 134 202 1 67 1 135 317 2 45 1 1 136 205 1 68 1 137 1544 8 29 1 1 1 1 2 1 3 1 138 208 1 69 1 139 1567 8 30 1 1 2 1 1 1 3 1 140 211 1 70 1 141 331 2 47 1 1 142 214 1 71 1 143 758 4 39 1 1 2 1 144 217 1 72 1 145 496 3 58 1 1 1 146 220 1 73 1 147 345 2 49 1 1 148 223 1 74 1 149 1681 8 34 1 1 1 1 1 2 3 1 150 226 1 75 1 151 1724 7 56 1 2 3 2 1 1 1 152 229 1 76 1 153 359 2 51 1 1 154 232 1 77 1 155 530 3 62 1 1 1 156 235 1 78 1 157 1770 9 34 1 1 1 1 1 1 1 3 1 158 238 1 79 1 159 373 2 53 1 1 160 241 1 80 1 161 693 3 46 1 2 1 162 244 1 81 1 163 1845 8 44 1 1 1 2 2 1 2 1 164 247 1 82 1 165 387 2 55 1 1 166 250 1 83 1 167 1891 8 46 1 2 2 1 1 1 2 1 168 253 1 84 1 169 915 5 65 1 1 1 1 1 170 256 1 85 1 171 401 2 57 1 1 172 259 1 86 1 173 1975 8 64 1 2 1 2 2 1 1 1 174 262 1 87 1 175 598 3 70 1 1 1 176 265 1 88 1 177 415 2 59 1 1 178 268 1 89 1 179 2028 9 50 1 1 1 1 2 1 1 2 1 180 271 1 90 1 181 2050 9 50 1 2 1 1 1 1 1 2 1 182 274 1 91 1 183 429 2 61 1 1 184 277 1 92 1 185 632 3 74 1 1 1 186 280 1 93 1 187 990 4 51 1 1 2 1 188 283 1 94 1 189 443 2 63 1 1 190 286 1 95 1 191 2184 9 74 1 2 1 1 2 1 1 1 1 192 289 1 96 1 193 2213 9 81 1 2 1 1 1 1 2 1 1 194 292 1 97 1 195 457 2 65 1 1 196 295 1 98 1 197 2415 8 43 2 1 1 2 1 1 3 1 198 298 1 99 1 199 2254 10 55 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 200 301 1 100 1 201 471 2 67 1 1 202 304 1 101 1 203 873 3 58 1 2 1 204 307 1 102 1 205 700 3 82 1 1 1 206 310 1 103 1 207 485 2 69 1 1 208 313 1 104 1 209 1106 4 57 1 1 2 1 210 316 1 105 1 211 2586 8 46 1 1 2 2 1 1 3 1 212 319 1 106 1 213 499 2 71 1 1 214 322 1 107 1 215 734 3 86 1 1 1 216 325 1 108 1 217 933 3 62 1 2 1 218 328 1 109 1 219 513 2 73 1 1 220 331 1 110 1 221 1195 5 85 1 1 1 1 1 222 334 1 111 1 223 2750 8 66 1 3 1 1 1 2 2 1 224 337 1 112 1 225 527 2 75 1 1 226 340 1 113 1 227 2782 9 49 1 1 1 2 1 1 1 3 1 228 343 1 114 1 229 2807 9 50 1 1 1 1 2 1 1 3 1 230 346 1 115 1 231 541 2 77 1 1 232 349 1 116 1 233 2663 11 89 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 234 352 1 117 1 235 802 3 94 1 1 1 236 355 1 118 1 237 555 2 79 1 1 238 358 1 119 1 239 2943 9 66 1 3 1 1 1 1 1 2 1 240 361 1 120 1 241 2956 9 55 1 1 1 1 1 1 2 3 1 242 364 1 121 1 243 569 2 81 1 1 244 367 1 122 1 245 836 3 98 1 1 1 246 370 1 123 1 247 1335 5 95 1 1 1 1 1 248 373 1 124 1 249 583 2 83 1 1 250 376 1 125 1 251 3090 8 70 1 2 2 2 1 1 2 1 252 379 1 126 1 253 1338 4 69 1 1 2 1 254 382 1 127 1 255 597 2 85 1 1 256 385 1 128 1 257 3162 9 69 1 2 1 1 1 2 1 2 1 258 388 1 129 1 259 1113 3 74 1 2 1 260 391 1 130 1 261 611 2 87 1 1 262 394 1 131 1 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