Number of ways to place 3 nonattacking nightriders on an n X n toroidal board
(Vaclav Kotesovec, Dec 7 2010)

G.f.: -(2*x^3*(18*x^240 + 238*x^239 + 1097*x^238 + 3375*x^237 + 8918*x^236 + 17750*x^235 + 34024*x^234 + 102992*x^233 + 170689*x^232 + 334029*x^231 + 581514*x^230 + 1211137*x^229 + 1946821*x^228 + 3261848*x^227 + 6059493*x^226 + 9207559*x^225 + 14701366*x^224 + 25230138*x^223 + 37434596*x^222 + 58377396*x^221 + 88774700*x^220 + 132758252*x^219 + 200673570*x^218 + 290090616*x^217 + 418515022*x^216 + 607341496*x^215 + 861557458*x^214 + 1215557597*x^213 + 1685714477*x^212 + 2341191169*x^211 + 3219651899*x^210 + 4371083830*x^209 + 5915584825*x^208 + 7924831726*x^207 + 10557643302*x^206 + 13985977772*x^205 + 18337941860*x^204 + 23988066249*x^203 + 31106584573*x^202 + 40105490710*x^201 + 51480894072*x^200 + 65613921210*x^199 + 83247672844*x^198 + 104997928822*x^197 + 131723277236*x^196 + 164610197445*x^195 + 204434636025*x^194 + 252850305579*x^193 + 311174992353*x^192 + 381220960985*x^191 + 465166514579*x^190 + 564726823578*x^189 + 682915434782*x^188 + 822445725326*x^187 + 986137978689*x^186 + 1178200387820*x^185 + 1401486629757*x^184 + 1661071235024*x^183 + 1961320551382*x^182 + 2306824950007*x^181 + 2703969741037*x^180 + 3157486064883*x^179 + 3674231748485*x^178 + 4261111512082*x^177 + 4924054143893*x^176 + 5672233094130*x^175 + 6511299186233*x^174 + 7450502529517*x^173 + 8498360385775*x^172 + 9661882454985*x^171 + 10951645005463*x^170 + 12374268174000*x^169 + 13939091979844*x^168 + 15656151228655*x^167 + 17530520390873*x^166 + 19573677123871*x^165 + 21790395339520*x^164 + 24188662241863*x^163 + 26776395207115*x^162 + 29555853822062*x^161 + 32535166656010*x^160 + 35715815965886*x^159 + 39099788860722*x^158 + 42691989336943*x^157 + 46486765430930*x^156 + 50487649366627*x^155 + 54688035964502*x^154 + 59082851562091*x^153 + 63669565025811*x^152 + 68433813486836*x^151 + 73369540833087*x^150 + 78463323097249*x^149 + 83698270419327*x^148 + 89065310025089*x^147 + 94538213517501*x^146 + 100103347862326*x^145 + 105737849546511*x^144 + 111416175681404*x^143 + 117120491777082*x^142 + 122817864879142*x^141 + 128485934576486*x^140 + 134098082976549*x^139 + 139619779202362*x^138 + 145032206182235*x^137 + 150296476874559*x^136 + 155388865165104*x^135 + 160281319456761*x^134 + 164939649511741*x^133 + 169345476518963*x^132 + 173464462172483*x^131 + 177273308402194*x^130 + 180753343490024*x^129 + 183873445638405*x^128 + 186625006299741*x^127 + 188981000016072*x^126 + 190929209478127*x^125 + 192461238454377*x^124 + 193558644425462*x^123 + 194223284956116*x^122 + 194444691793788*x^121 + 194220736776023*x^120 + 193560800673460*x^119 + 192457592242803*x^118 + 190929495372496*x^117 + 188979800936468*x^116 + 186620542458472*x^115 + 183873998655239*x^114 + 180748608220643*x^113 + 177271744869152*x^112 + 173462305326397*x^111 + 169339751623003*x^110 + 164939132384048*x^109 + 160276072337970*x^108 + 155386114335263*x^107 + 150294096245511*x^106 + 145025984474973*x^105 + 139618824299291*x^104 + 134093237147972*x^103 + 128482666378371*x^102 + 122815923325663*x^101 + 117114757459052*x^100 + 111415256505433*x^99 + 105734102224078*x^98 + 100100364987576*x^97 + 94537041341240*x^96 + 89060757409500*x^95 + 83697887240255*x^94 + 78460904044556*x^93 + 73367348881239*x^92 + 68433672330201*x^91 + 63666370369121*x^90 + 59083195994669*x^89 + 54687048473501*x^88 + 50486285659708*x^87 + 46487591434807*x^86 + 42690200201055*x^85 + 39100661716548*x^84 + 35716040182057*x^83 + 32534609006022*x^82 + 29557259716215*x^81 + 26775780018454*x^80 + 24189881457148*x^79 + 21791344797744*x^78 + 19573735635972*x^77 + 17532187845465*x^76 + 15656255388995*x^75 + 13940436854696*x^74 + 12375559083781*x^73 + 10951976364511*x^72 + 9663541904623*x^71 + 8498852387612*x^70 + 7451679982184*x^69 + 6512639167095*x^68 + 5672649742901*x^67 + 4925423055673*x^66 + 4261749961085*x^65 + 3675146509639*x^64 + 3158601465844*x^63 + 2704368593087*x^62 + 2307835236328*x^61 + 1961880407635*x^60 + 1661723921067*x^59 + 1402306954353*x^58 + 1178479455327*x^57 + 986825574762*x^56 + 822863586458*x^55 + 683305469385*x^54 + 565283745208*x^53 + 465331410889*x^52 + 381621201886*x^51 + 311467610658*x^50 + 253049978760*x^49 + 204757386107*x^48 + 164709882669*x^47 + 131924969647*x^46 + 105167883061*x^45 + 83347286281*x^44 + 65776312233*x^43 + 51525156758*x^42 + 40203906660*x^41 + 31192304240*x^40 + 24024064042*x^39 + 18417340626*x^38 + 14000598256*x^37 + 10594706731*x^36 + 7969640791*x^35 + 5922592754*x^34 + 4401872010*x^33 + 3227969072*x^32 + 2350124066*x^31 + 1704520537*x^30 + 1218001196*x^29 + 869271617*x^28 + 610790461*x^27 + 421754937*x^26 + 295059317*x^25 + 201100676*x^24 + 135553746*x^23 + 88709846*x^22 + 59263584*x^21 + 39553870*x^20 + 24303032*x^19 + 15442916*x^18 + 9657900*x^17 + 5699976*x^16 + 3875632*x^15 + 1879068*x^14 + 1086685*x^13 + 772269*x^12 + 320340*x^11 + 173933*x^10 + 115325*x^9 + 33306*x^8 + 24613*x^7 + 8695*x^6 + 5434*x^5 + 574*x^4 + 408*x^3 + 252*x^2 + 45*x + 3))/((x-1)^7*(x+1)^5*(x^2+1)^5*(x^2-x+1)^3*(x^2+x+1)^5*(x^4+1)^3*(x^4-x^2+1)^3*(x^4-x^3+x^2-x+1)^3*(x^4+x^3+x^2+x+1)^5*(x^6+x^3+1)^3*(x^8+1)^3*(x^8-x^6+x^4-x^2+1)^3*(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)^3*(x^20+x^15+x^10+x^5+1)^3)

Recurrence: a(n) = a(n-244) - a(n-243) + 4*a(n-241) + 6*a(n-238) + 6*a(n-237) + 10*a(n-236) + 7*a(n-235) + 17*a(n-234) + 30*a(n-233) + 24*a(n-232) + 44*a(n-231) + 60*a(n-230) + 63*a(n-229) + 101*a(n-228) + 118*a(n-227) + 147*a(n-226) + 185*a(n-225) + 218*a(n-224) + 294*a(n-223) + 326*a(n-222) + 374*a(n-221) + 486*a(n-220) + 535*a(n-219) + 619*a(n-218) + 715*a(n-217) + 789*a(n-216) + 914*a(n-215) + 979*a(n-214) + 1075*a(n-213) + 1181*a(n-212) + 1203*a(n-211) + 1315*a(n-210) + 1351*a(n-209) + 1312*a(n-208) + 1350*a(n-207) + 1274*a(n-206) + 1196*a(n-205) + 1056*a(n-204) + 815*a(n-203) + 641*a(n-202) + 285*a(n-201) - 107*a(n-200) - 481*a(n-199) - 1077*a(n-198) - 1599*a(n-197) - 2219*a(n-196) - 2963*a(n-195) - 3651*a(n-194) - 4493*a(n-193) - 5246*a(n-192) - 6047*a(n-191) - 6966*a(n-190) - 7638*a(n-189) - 8434*a(n-188) - 9139*a(n-187) - 9640*a(n-186) - 10197*a(n-185) - 10460*a(n-184) - 10644*a(n-183) - 10641*a(n-182) - 10291*a(n-181) - 9968*a(n-180) - 9172*a(n-179) - 8148*a(n-178) - 7037*a(n-177) - 5400*a(n-176) - 3706*a(n-175) - 1693*a(n-174) + 634*a(n-173) + 2988*a(n-172) + 5784*a(n-171) + 8465*a(n-170) + 11305*a(n-169) + 14453*a(n-168) + 17199*a(n-167) + 20137*a(n-166) + 22935*a(n-165) + 25382*a(n-164) + 27858*a(n-163) + 29703*a(n-162) + 31373*a(n-161) + 32632*a(n-160) + 33105*a(n-159) + 33531*a(n-158) + 33015*a(n-157) + 31855*a(n-156) + 30470*a(n-155) + 28071*a(n-154) + 25314*a(n-153) + 21836*a(n-152) + 17698*a(n-151) + 13482*a(n-150) + 8277*a(n-149) + 2991*a(n-148) - 2483*a(n-147) - 8611*a(n-146) - 14305*a(n-145) - 20291*a(n-144) - 26239*a(n-143) - 31677*a(n-142) - 37176*a(n-141) - 41775*a(n-140) - 46128*a(n-139) - 50015*a(n-138) - 52622*a(n-137) - 54987*a(n-136) - 56274*a(n-135) - 56530*a(n-134) - 56270*a(n-133) - 54619*a(n-132) - 52392*a(n-131) - 49163*a(n-130) - 44910*a(n-129) - 40375*a(n-128) - 34567*a(n-127) - 28391*a(n-126) - 21955*a(n-125) - 14638*a(n-124) - 7514*a(n-123) + 7514*a(n-121) + 14638*a(n-120) + 21955*a(n-119) + 28391*a(n-118) + 34567*a(n-117) + 40375*a(n-116) + 44910*a(n-115) + 49163*a(n-114) + 52392*a(n-113) + 54619*a(n-112) + 56270*a(n-111) + 56530*a(n-110) + 56274*a(n-109) + 54987*a(n-108) + 52622*a(n-107) + 50015*a(n-106) + 46128*a(n-105) + 41775*a(n-104) + 37176*a(n-103) + 31677*a(n-102) + 26239*a(n-101) + 20291*a(n-100) + 14305*a(n-99) + 8611*a(n-98) + 2483*a(n-97) - 2991*a(n-96) - 8277*a(n-95) - 13482*a(n-94) - 17698*a(n-93) - 21836*a(n-92) - 25314*a(n-91) - 28071*a(n-90) - 30470*a(n-89) - 31855*a(n-88) - 33015*a(n-87) - 33531*a(n-86) - 33105*a(n-85) - 32632*a(n-84) - 31373*a(n-83) - 29703*a(n-82) - 27858*a(n-81) - 25382*a(n-80) - 22935*a(n-79) - 20137*a(n-78) - 17199*a(n-77) - 14453*a(n-76) - 11305*a(n-75) - 8465*a(n-74) - 5784*a(n-73) - 2988*a(n-72) - 634*a(n-71) + 1693*a(n-70) + 3706*a(n-69) + 5400*a(n-68) + 7037*a(n-67) + 8148*a(n-66) + 9172*a(n-65) + 9968*a(n-64) + 10291*a(n-63) + 10641*a(n-62) + 10644*a(n-61) + 10460*a(n-60) + 10197*a(n-59) + 9640*a(n-58) + 9139*a(n-57) + 8434*a(n-56) + 7638*a(n-55) + 6966*a(n-54) + 6047*a(n-53) + 5246*a(n-52) + 4493*a(n-51) + 3651*a(n-50) + 2963*a(n-49) + 2219*a(n-48) + 1599*a(n-47) + 1077*a(n-46) + 481*a(n-45) + 107*a(n-44) - 285*a(n-43) - 641*a(n-42) - 815*a(n-41) - 1056*a(n-40) - 1196*a(n-39) - 1274*a(n-38) - 1350*a(n-37) - 1312*a(n-36) - 1351*a(n-35) - 1315*a(n-34) - 1203*a(n-33) - 1181*a(n-32) - 1075*a(n-31) - 979*a(n-30) - 914*a(n-29) - 789*a(n-28) - 715*a(n-27) - 619*a(n-26) - 535*a(n-25) - 486*a(n-24) - 374*a(n-23) - 326*a(n-22) - 294*a(n-21) - 218*a(n-20) - 185*a(n-19) - 147*a(n-18) - 118*a(n-17) - 101*a(n-16) - 63*a(n-15) - 60*a(n-14) - 44*a(n-13) - 24*a(n-12) - 30*a(n-11) - 17*a(n-10) - 7*a(n-9) - 10*a(n-8) - 6*a(n-7) - 6*a(n-6) - 4*a(n-3) + a(n-1)

Explicit formula: a(n) = n^2/6*(2740-3214*n+539*n^2-66*n^3+n^4+240*floor(n/25)+384*floor(n/20)+96*floor(n/16)+192*floor(n/12)-384*floor(n/10)+72*floor(n/9)+48*floor(n/8)+2160*floor(n/5)-384*n*floor(n/5)+48*n^2*floor(n/5)+240*floor(n/4)-96*n*floor(n/4)+12*n^2*floor(n/4)+920*floor(n/3)-192*n*floor(n/3)+24*n^2*floor(n/3)+1404*floor(n/2)-192*n*floor(n/2)+24*n^2*floor(n/2)-384*floor((1+n)/20)-192*floor((1+n)/12)+576*floor((1+n)/10)+288*floor((1+n)/6)+1104*floor((1+n)/5)-192*n*floor((1+n)/5)+24*n^2*floor((1+n)/5)+960*floor((1+n)/4)-96*n*floor((1+n)/4)+12*n^2*floor((1+n)/4)+256*floor((1+n)/3)-96*n*floor((1+n)/3)+12*n^2*floor((1+n)/3)+384*floor((2+n)/15)-192*floor((2+n)/10)+72*floor((2+n)/9)+912*floor((2+n)/5)-192*n*floor((2+n)/5)+24*n^2*floor((2+n)/5)+384*floor((3+n)/20)-384*floor((3+n)/15)+192*floor((3+n)/12)+192*floor((3+n)/10)+144*floor((3+n)/8)+1104*floor((3+n)/5)-192*n*floor((3+n)/5)+24*n^2*floor((3+n)/5)+240*floor((4+n)/25)+384*floor((4+n)/15)-384*floor((5+n)/20)+72*floor((5+n)/9)-384*floor((6+n)/15)+384*floor((7+n)/20)+96*floor((7+n)/16)+384*floor((7+n)/15)+240*floor((9+n)/25)+240*floor((14+n)/25)+240*floor((19+n)/25))

Mathematica: 
Table[n^2/6*(2740-3214*n+539*n^2-66*n^3+n^4+240*Floor[n/25]+384*Floor[n/20]+96*Floor[n/16]+192*Floor[n/12]-384*Floor[n/10]+72*Floor[n/9]+48*Floor[n/8]+2160*Floor[n/5]-384*n*Floor[n/5]+48*n^2*Floor[n/5]+240*Floor[n/4]-96*n*Floor[n/4]+12*n^2*Floor[n/4]+920*Floor[n/3]-192*n*Floor[n/3]+24*n^2*Floor[n/3]+1404*Floor[n/2]-192*n*Floor[n/2]+24*n^2*Floor[n/2]-384*Floor[(1+n)/20]-192*Floor[(1+n)/12]+576*Floor[(1+n)/10]+288*Floor[(1+n)/6]+1104*Floor[(1+n)/5]-192*n*Floor[(1+n)/5]+24*n^2*Floor[(1+n)/5]+960*Floor[(1+n)/4]-96*n*Floor[(1+n)/4]+12*n^2*Floor[(1+n)/4]+256*Floor[(1+n)/3]-96*n*Floor[(1+n)/3]+12*n^2*Floor[(1+n)/3]+384*Floor[(2+n)/15]-192*Floor[(2+n)/10]+72*Floor[(2+n)/9]+912*Floor[(2+n)/5]-192*n*Floor[(2+n)/5]+24*n^2*Floor[(2+n)/5]+384*Floor[(3+n)/20]-384*Floor[(3+n)/15]+192*Floor[(3+n)/12]+192*Floor[(3+n)/10]+144*Floor[(3+n)/8]+1104*Floor[(3+n)/5]-192*n*Floor[(3+n)/5]+24*n^2*Floor[(3+n)/5]+240*Floor[(4+n)/25]+384*Floor[(4+n)/15]-384*Floor[(5+n)/20]+72*Floor[(5+n)/9]-384*Floor[(6+n)/15]+384*Floor[(7+n)/20]+96*Floor[(7+n)/16]+384*Floor[(7+n)/15]+240*Floor[(9+n)/25]+240*Floor[(14+n)/25]+240*Floor[(19+n)/25]),{n,1,100}]