%I #10 Jun 22 2024 10:19:39
%S 0,0,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,
%T 3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,
%U 4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5
%N Number of primes of the form k^2 + 1 less than n.
%C The first n such that a(n) = 5 is a(102). Records in a(n) are a(n) = A002496(n)+1. Hardy and Littlewood conjectured that, asymptotically, a(n) ~ c*(sqrt(n))/log n, where c ~ 1.3727.
%D Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, 2nd Edn., Springer, 1994, A1, pp.4-5.
%H Harvey P. Dale, <a href="/A179076/b179076.txt">Table of n, a(n) for n = 1..1000</a>
%e a(3) = 1 because the unique prime of the form k^2 + 1 less than 3 is 1^2 + 1 = 2. The smallest value of n to reach the next record is a(6) = 2 because a(18) = 2, the two primes of the form k^2 + 1 less than 6 are 2 and 2^2 + 1 = 5. The smallest value of n to reach the next record is a(18) = 3 because the three primes of the form k^2 + 1 less than 18 are 2, 5, and 4^2 + 1 = 17.
%t Accumulate[Table[If[PrimeQ[n]&&IntegerQ[Sqrt[n-1]],1,0],{n,0,120}]] (* _Harvey P. Dale_, Jun 22 2024 *)
%Y Cf. A000040, A002496.
%K easy,nonn
%O 1,6
%A _Jonathan Vos Post_, Jun 28 2010