In[29]:= Clear[A, p, n, i]; In[30]:= Needs["Combinatorica`"] In[31]:= p[x_, n_] = Sum[If[i == Floor[n/2] && Mod[n, 2] == 0, 0, If[i <= Floor[n/2], (-1)^i*Eulerian[n + 1, i] x^i, -(-1)^(n - i)* Eulerian[n + 1, i] x^i]], {i, 0, n}]/(1 - x); In[32]:= a0 = Table[CoefficientList[FullSimplify[p[x, n]], x], {n, 1, 20}] Out[32]= {{1}, {1, 1}, {1, -10, 1}, {1, -25, -25, 1}, {1, -56, 246, -56, 1}, {1, -119, 1072, 1072, -119, 1}, {1, -246, 4047, -11572, 4047, -246, 1}, {1, -501, 14107, -74127, -74127, 14107, -501, 1}, {1, -1012, 46828, -408364, 901990, -408364, 46828, -1012, 1}, {1, -2035, 150602, -2052886, 7685228, 7685228, -2052886, 150602, -2035, 1}, {1, -4082, 474189, -9713496, 56604978, -105907308, 56604978, -9713496, 474189, -4082, 1}, {1, -8177, 1471549, -44061901, 379219634, -1126401874, -1126401874, 379219634, -44061901, 1471549, -8177, 1}, {1, -16368, 4520946, -193889840, 2377852335, -10465410528, 17505765564, -10465410528, 2377852335, -193889840, 4520946, -16368, 1}, {1, -32751, 13791988, -834298924, 14206930597, -88570068331, 222817530080, 222817530080, -88570068331, 14206930597, -834298924, 13791988, -32751, 1}, {1, -65518, 41867227, -3530218028, 81853020521, -700262497778, 2507220680379, -3875578245096, 2507220680379, -700262497778, 81853020521, -3530218028, 41867227, -65518, 1}, {1, -131053, 126649967, -14748749483, 458604551577, -5258687420805, 25796965527583, -57340257657787, -57340257657787, 25796965527583, -5258687420805, 458604551577, -14748749483, 126649967, -131053, 1}, {1, -262124, 382177800, -61021135300, 2514000962300, -37943343785772, 248053730521528, -758656237393700, 1106729420386950, -758656237393700, 248053730521528, -37943343785772, 2514000962300, -61021135300, 382177800, -262124, 1}, {1, -524267, 1151251630, -250581039554, 13545579144946, -265248798709886, 2262676203166150, -9222968431843274, 18639312135250084, 18639312135250084, -9222968431843274, 2262676203166150, -265248798709886, 13545579144946, -250581039554, 1151251630, -524267, 1}, {1, -1048554, 3463715961, -1023045639024, 71985471942420, -1807723197954072, 19790873105145828, -104957308999318032, 283630951724635278, -395931266069521660, 283630951724635278, -104957308999318032, 19790873105145828, -1807723197954072, 71985471942420, -1023045639024, 3463715961, -1048554, 1}, {1, -2097129, 10412118961, -4157991062249, 378335255879716, -12068053044802340, 167317751125344340, -1133048053953765140, 3985972659919844830, -7472708646709164270, -7472708646709164270, 3985972659919844830, -1133048053953765140, 167317751125344340, -12068053044802340, 378335255879716, -4157991062249, 10412118961, -2097129, 1}} In[37]:= c = Join[{1}, Table[ExpandAll[FindSequenceFunction[a0[[n]], m]], {n, 4, Length[a0], 2}]] Out[37]= {1, 53 - 65 m + 13 m^2, 6436 - 11886 m + (27225 m^2)/4 - (2919 m^3)/2 + (417 m^4)/4, 1442801 - (16251898 m)/5 + (237769217 m^2)/90 - (2026367 m^3)/2 + ( 1772480 m^4)/9 - (187539 m^5)/10 + (62513 m^6)/90, 518905700 - (185318160621 m)/140 + (731167716739 m^2)/560 - ( 119491466369 m^3)/180 + (556151289301 m^4)/2880 - (23984757797 m^5)/ 720 + (4843644119 m^6)/1440 - (924551573 m^7)/5040 + (84050143 m^8)/ 20160, 273657361556 - (106696331733459 m)/140 + ( 192215251413304 m^2)/225 - (3911416395161249 m^3)/7560 + ( 1149050650410311 m^4)/6048 - (64297985242387 m^5)/1440 + ( 5486979392101 m^6)/800 - (3451198047739 m^7)/5040 + ( 12322485077 m^8)/288 - (45930552499 m^9)/30240 + (3533119423 m^10)/ 151200, 199003712480400 - (186603595323817796 m)/315 + ( 13774003886047880359 m^2)/18900 - (5656941226204339909 m^3)/ 11340 + (291530230567553547511 m^4)/1360800 - ( 464008561797920891 m^5)/7560 + (65952301410895594481 m^6)/ 5443200 - (101045967462001393 m^7)/60480 + (291263207187599009 m^8)/ 1814400 - (191023813630313 m^9)/18144 + (2444658429735527 m^10)/ 5443200 - (679015424329 m^11)/60480 + (679015424329 m^12)/5443200, 190860539914412249 - (5997175786200492037827 m)/10010 + ( 4281097586796760400562559 m^2)/5405400 - ( 27462482189095811953727 m^3)/46200 + ( 4285715564354099487016607 m^4)/14968800 - ( 32126233214419339816517 m^5)/340200 + (20089095431354846820299 m^6)/ 907200 - (10262975606117296258583 m^7)/2721600 + ( 320311292704699811563 m^8)/680400 - (39050697604009017371 m^9)/ 907200 + (3874740936472936259 m^10)/1360800 - ( 3967659144204920491 m^11)/29937600 + (6842386709714023 m^12)/ 1663200 - (4248622271295119 m^13)/55598400 + (249918957135007 m^14)/ 389188800, 233420926430224438276 - (91949747536346682715471303 m)/120120 + ( 108193742682069093674624053037 m^2)/100900800 - ( 2619919932870524289812100182953 m^3)/3027024000 + ( 33100411638581874432871139274491 m^4)/72648576000 - ( 40053499770716935865762396609 m^5)/239500800 + ( 42686262100726345461710415577 m^6)/958003200 - ( 480925462641699435175060453 m^7)/54432000 + ( 32270553047214320693284249787 m^8)/24385536000 - ( 91908319436571349969902091 m^9)/609638400 + ( 15924271643680905503869123 m^10)/1219276800 - ( 4089129277202764182888791 m^11)/4790016000 + ( 792698763009890395710577 m^12)/19160064000 - ( 17937116623957673260933 m^13)/12454041600 + ( 5933520670334803379011 m^14)/174356582400 - ( 212915954261623040663 m^15)/435891456000 + ( 11206102855874896877 m^16)/3487131648000, 354548723400190775411348 - (20531474838279444619608156626 m)/ 17017 + (6844307812376506344549617849412587 m^2)/3859455600 - ( 394162189262919437564442418682053 m^3)/259459200 + ( 56170846457253726180967643656028711 m^4)/65383718400 - ( 1603132470257650465258209576135613 m^5)/4670265600 + ( 2702745454805844835117582273796039 m^6)/26747884800 - ( 32354574345507657850895766399619 m^7)/1437004800 + ( 933150937278867671581181960435387 m^8)/241416806400 - ( 540128471347182833546084469229 m^9)/1045094400 + ( 1187454333689403607218941472569 m^10)/21946982400 - ( 12748103738947709604337611307 m^11)/2874009600 + ( 102584792674643217650693462497 m^12)/362125209600 - ( 148711197932587691819189267 m^13)/10674892800 + ( 811009110210644197368050891 m^14)/1569209241600 - ( 522328091146416444007333 m^15)/37362124800 + ( 74189055544770295330297 m^16)/285310771200 - ( 2516623879452449100361 m^17)/846874828800 + ( 2516623879452449100361 m^18)/160059342643200} In[38]:= In[39]:= Table[ Table[If [n == 0, 1, c[[n]]], {m, 1, 2*n + 2}], {n, 0, Length[c]}] Out[39]= {{1, 1}, {1, 1, 1, 1}, {1, -25, -25, 1, 53, 131}, {1, -119, 1072, 1072, -119, 1, 6436, 26692}, {1, -501, 14107, -74127, -74127, 14107, -501, 1, 1442801, 8564635}, {1, -2035, 150602, -2052886, 7685228, 7685228, -2052886, 150602, -2035, 1, 518905700, 4042076468}, {1, -8177, 1471549, -44061901, 379219634, -1126401874, -1126401874, 379219634, -44061901, 1471549, -8177, 1, 273657361556, 2649674870636}, {1, -32751, 13791988, -834298924, 14206930597, -88570068331, 222817530080, 222817530080, -88570068331, 14206930597, -834298924, 13791988, -32751, 1, 199003712480400, 2308597731332752}, {1, -131053, 126649967, -14748749483, 458604551577, -5258687420805, 25796965527583, -57340257657787, -57340257657787, 25796965527583, -5258687420805, 458604551577, -14748749483, 126649967, -131053, 1, 190860539914412249, 2583583932507667739}, {1, -524267, 1151251630, -250581039554, 13545579144946, -265248798709886, 2262676203166150, -9222968431843274, 18639312135250084, 18639312135250084, -9222968431843274, 2262676203166150, -265248798709886, 13545579144946, -250581039554, 1151251630, -524267, 1, 233420926430224438276, 3614433874418328879028}, {1, -2097129, 10412118961, -4157991062249, 378335255879716, -12068053044802340, 167317751125344340, -1133048053953765140, 3985972659919844830, -7472708646709164270, -7472708646709164270, 3985972659919844830, -1133048053953765140, 167317751125344340, -12068053044802340, 378335255879716, -4157991062249, 10412118961, -2097129, 1, 354548723400190775411348, 6183991594049621281515788}} In[40]:= Table[ Solve[Table[ x*c[[n + k]] + y*c[[n - 1 + k]] - c[[n + 1 + k]] == 0, {k, 0, 1}], {x, y}], {n, 2, Length[c] - 2, 2}] Out[40]= {{{x -> -((-198304740 + 198069948 m - 58410421 m^2 + 2592614 m^3 + 1140334 m^4 - 118919 m^5)/( 45 (14508 - 5476 m - 663 m^2 + 259 m^3))), y -> -(25233377040 - 56166649056 m + 45471208472 m^2 - 17234321304 m^3 + 3125211339 m^4 - 201845225 m^5 - 9733223 m^6 + 1323653 m^7)/(180 (14508 - 5476 m - 663 m^2 + 259 m^3))}}, {{x -> (4 (918613588533827155200 - 3219303741958635211440 m + 4820383277031585843540 m^2 - 4111954014873771479256 m^3 + 2237214934467145778739 m^4 - 820488876276574483735 m^5 + 208224286314091869352 m^6 - 36775386629696892421 m^7 + 4451444978493520794 m^8 - 352031439024719403 m^9 + 15990274425747873 m^10 - 227991985847858 m^11 - 11520567098818 m^12 + 417147095593 m^13))/(4565038962512851200 - 14695730985812751360 m + 19705792236854121792 m^2 - 14624220057848043120 m^3 + 6682776077923392188 m^4 - 1967352310378003732 m^5 + 376398247720335879 m^6 - 45467296800399447 m^7 + 3133499954877762 m^8 - 80813562061458 m^9 - 2888134809221 m^10 + 173527142317 m^11), y -> -(765522874367261959624704000 - 2985709230169967282754124800 m + 5095040425784728378671893760 m^2 - 5076124437210998400454732416 m^3 + 3313678109157323560041374352 m^4 - 1504264604813326568313719888 m^5 + 490816414259824012290021752 m^6 - 117074626733224787154136200 m^7 + 20510454390006984401892481 m^8 - 2619188160908425694039239 m^9 + 238102585227671936205501 m^10 - 14625973172696426896267 m^11 + 535646379686816336467 m^12 - 6965384111775628773 m^13 - 214815845939906713 m^14 + 7018477343287183 m^15)/(1680 (4565038962512851200 - 14695730985812751360 m + 19705792236854121792 m^2 - 14624220057848043120 m^3 + 6682776077923392188 m^4 - 1967352310378003732 m^5 + 376398247720335879 m^6 - 45467296800399447 m^7 + 3133499954877762 m^8 - 80813562061458 m^9 - 2888134809221 m^10 + 173527142317 m^11))}}, {{x -> (4 \ (2623313260937591094689880700500864000000 - 12073413489403157215284258269480400192000 m + 25135179051399155953735479613746956956800 m^2 - 31639054311863053558862532943085529851520 m^3 + 27110355816825591860984398141482518703696 m^4 - 16858995561522281260477450499078096367984 m^5 + 7913655157681427838033573329864037132168 m^6 - 2876855878845557600510784022544106092792 m^7 + 823913046348059244007535593807035183119 m^8 - 187967404022787149824782600900406326971 m^9 + 34379450456271275866970132528599471806 m^10 - 5052755602098854665265768445122411319 m^11 + 595682893172719064534686857531889377 m^12 - 55981188343117819575287597689595348 m^13 + 4143729422320312457802631449665009 m^14 - 236699871954552672676040393015081 m^15 + 10078677679949830728935039886930 m^16 - 299970183926503853257600979130 m^17 + 5368595459179921594640682717 m^18 - 27093387496011861638850788 m^19 - 893903130759516689859622 m^20 + 13988614129194864994933 m^21))/(429 \ (15569084623859799784853928099840000 - 68761949329055943338208677296128000 m + 136312559965266565548351505022323200 m^2 - 162059854151935777433450588537564160 m^3 + 130005519457132576135071111475741824 m^4 - 74958344376577475228569167291038016 m^5 + 32270784042198717203785705396191984 m^6 - 10627399887842227429811007974114176 m^7 + 2718022667169979248856260552416008 m^8 - 544477502406905914966872484712672 m^9 + 85674945642771849711984131136403 m^10 - 10561195463781197812178798822207 m^11 + 1010684108593660649251306360912 m^12 - 73762643760878558665368431208 m^13 + 3976793126349234399455705342 m^14 - 149155458743170634890349518 m^15 + 3390461225524377305776256 m^16 - 25403367847284011225104 m^17 - 694716688980168851929 m^18 + 14233671002025825061 m^19)), y -> -(53502767082808864653194410166916027310080000 - 258477144703892170021452746411958141568512000 m + 569390258796467573296739946132384427084953600 m^2 - 764546999878393484310941197489162626464478720 m^3 + 704750643257352102220398144762569930164670976 m^4 - 475718215614902373962558833376474674839226752 m^5 + 244750219072619915892815760853061340178663872 m^6 - 98561335368035661871998228029097411895745856 m^7 + 31640810134251471942375160304040928047064864 m^8 - 8200393573033598654376165020005443879854864 m^9 + 1730316128014250205330860537628992136626240 m^10 - 298737575508212662768297208217067794327568 m^11 + 42283668552950850348938985308752910181417 m^12 - 4901352883321061058361561489381531689531 m^13 + 463279013606953358417252427548802658663 m^14 - 35412693113079815022793833851045193245 m^15 + 2159549327546257222487881810426610570 m^16 - 102819936460524797764591430184763438 m^17 + 3689190189932075963656260618546366 m^18 - 93557096468916014536088917077882 m^19 + 1448157801102587825512210694173 m^20 - 6837015301640298279890731415 m^21 - 167480002972304373528766741 m^22 + 2356324788835913413585271 m^23)/(7722 \ (15569084623859799784853928099840000 - 68761949329055943338208677296128000 m + 136312559965266565548351505022323200 m^2 - 162059854151935777433450588537564160 m^3 + 130005519457132576135071111475741824 m^4 - 74958344376577475228569167291038016 m^5 + 32270784042198717203785705396191984 m^6 - 10627399887842227429811007974114176 m^7 + 2718022667169979248856260552416008 m^8 - 544477502406905914966872484712672 m^9 + 85674945642771849711984131136403 m^10 - 10561195463781197812178798822207 m^11 + 1010684108593660649251306360912 m^12 - 73762643760878558665368431208 m^13 + 3976793126349234399455705342 m^14 - 149155458743170634890349518 m^15 + 3390461225524377305776256 m^16 - 25403367847284011225104 m^17 - 694716688980168851929 m^18 + 14233671002025825061 m^19))}}, {{x -> (4 \ (8099894897906053628894803281007241818879086347039558860800000 - 4303922998123565573444645110263994155920749988509740429312000\ 0 m + 105809609802371527478145863855392310685205774110198691574784000 \ m^2 - 160928439265646538167430076049391782103876509983888299737702400 \ m^3 + 170642211059562229241114161653177325498065286897758424486033920 \ m^4 - 134685833541832377056409314316176397960584918335768788460525824 \ m^5 + 82455143624385123804616329406413734507040004213259566715535552 \ m^6 - 40266856437390635852227211918087556986157066205975229006044416 \ m^7 + 16003726351087407500181320528763364566353971172258936835333456 \ m^8 - 5253623316018531601603021320857731932241224913002659756638752 \ m^9 + 1440346730890146028751632395071709452772403924806785583650996 \ m^10 - 332540405309811444327379170604447398750051481556872158205024 \ m^11 + 65048761713566375706830125092134030043986420089073232713001 \ m^12 - 10827030391386967885079452784314022700287998543015130888949 \ m^13 + 1537524240185675478516952008745154784982920275635403932116 \ m^14 - 186509809374227285252616241926839709637890491714868789699 m^15 \ + 19321524086671924012631644707436402007885311778302675956 m^16 - 1706366652839320304426144632967750867632181544873805059 m^17 \ + 128023194901759822090730973417388397437354891058545731 m^18 - 8115405360664893174095314543484814477621410396862024 m^19 + 431174764939190874420565763441168892656341492943091 m^20 - 18982193314888549153581709117405074871681018974924 m^21 + 681174979175550281807482973133647495082376694946 m^22 - 19446087384706148877036318370548023087312911779 m^23 + 424976178365925691480371651751180172940251646 m^24 - 6635653705813001041410694109029650059151975 m^25 + 62986228336728031006819366484478016246659 m^26 - 147661756894879196937983062855484294658 m^27 - 3708550938983948524579341507330061070 m^28 + 31836276047181627010928340194395483 m^29))/(459 \ (27207883443988753459277862766281181929412846269235200000 - 140846886266702038729256548505923550802947420627927040000 m \ + 336054044750214078510975447975376253561399125993390080000 m^2 - 494112078842116088009020486090765581809495685887503564800 \ m^3 + 504463432600772167471183013116600359033039497379257671680 m^4 - 381735974836679981032496475808284478120937735623884066816 \ m^5 + 223040664723518112442680201841457210481203389175672950272 m^6 - 103447496323937409652169948169453168545264505926861529600 \ m^7 + 38842295322543857048584993798915015381242822350960115776 m^8 - 11977071510600270869993287839723146766334467103996360384 m^9 \ + 3064877141311112788055360572756454332334181402155611056 m^10 - 655828518870095722513179003016360013477680204370074864 m^11 \ + 117968314610596145592884912144437988396901762588699996 m^12 - 17895724221835467944634274819082594251833625120065604 m^13 + 2292729221390857842503859950799755476248990408747231 m^14 - 247970194704968571836284614372128599115409439635319 m^15 + 22588176260059479766324192354160295812618771714406 m^16 - 1725218156440506232417252241434654140718108958374 m^17 + 109692873737542509425927837292855053158041055101 m^18 - 5744511450959654543576322993076707137506940509 m^19 + 243931242664863662691139964299771713940359696 m^20 - 8203982647704992618650106011951114190120824 m^21 + 210532402825226293370146658923798367392521 m^22 - 3856319076766649431647791034920802036769 m^23 + 43252023924015728211337663723597498446 m^24 - 137184822333225576953924757827927998 m^25 - 3034943408439526525677556836376181 m^26 + 31170287564101843436394145041861 m^27)), y -> -(735864101559516693077076236481572109295616842502335966331535\ 36000000 - 40271424312857166821881882383346301157064033911713410654383636\ 4800000 m + 10237923760242168864486117145423548616999305038290602570683331\ 37920000 m^2 - 16166301923765147703902166008171011965181134498598578057060534\ 19008000 m^3 + 17870108757082747234146858171959256918196461804276362072147061\ 71904000 m^4 - 14765859870187628598005656238196936100825046474187490669204067\ 46071040 m^5 + 95053365216945182139449475679802707796940048364369886972682655\ 6563456 m^6 - 49037887149335209508567110151992125920102527239314516486411373\ 1891200 m^7 + 20691279697119305584754813830197906711438799242993455195641686\ 4376064 m^8 - 72494749916411196937649483483472392171396551167889144139497195\ 036416 m^9 + 21334145348316943703257119488903493690483451132566922688246102\ 701568 m^10 - 53199406935669558878790356217769777214548655216257401136342798\ 18496 m^11 + 11316329661885364968602063148309524393981688562033958429679888\ 20320 m^12 - 20636625677050088543942212900293405810844633871835148615769060\ 8480 m^13 + 32377779076156616766810089052377872038891890998944617495163004\ 560 m^14 - 43804068367077047832262932842575396456152486809884382697089800\ 80 m^15 + 51156815820072873885002747779212988733716676784711996331337500\ 5 m^16 - 5156602881799049288611439746842038730554252110414098694591819\ 5 m^17 + 4480345669203556095346200154181410168767184884786178790568885\ m^18 - 334641346882504817490697643449917845213725559354716681224795 \ m^19 + 21395652860420522168613803130699187112387907644863539931425 \ m^20 - 1163814907529655136815860664199092571665584028302272985775 \ m^21 + 53398495702796328677785388364354680894721304954078407465 m^22 \ - 2042143320620342297162336615962082066597999925833435175 m^23 + 64011939711288292944144282802246497222817359743756535 m^24 - 1604649711112373383958334030027955084514174735501625 m^25 + 30953605369545885706877152758550542462732328861599 m^26 - 429021496458342797448734919531827933314876709265 m^27 + 3645922258362676155196569633120189441720436651 m^28 - 8151984410917559515473745323300554498478469 m^29 - 164127558668783883818442290797457737427533 m^30 + 1285623633687887720476096577279815667011 m^31)/(2056320 \ (27207883443988753459277862766281181929412846269235200000 - 140846886266702038729256548505923550802947420627927040000 m \ + 336054044750214078510975447975376253561399125993390080000 m^2 - 494112078842116088009020486090765581809495685887503564800 \ m^3 + 504463432600772167471183013116600359033039497379257671680 m^4 - 381735974836679981032496475808284478120937735623884066816 \ m^5 + 223040664723518112442680201841457210481203389175672950272 m^6 - 103447496323937409652169948169453168545264505926861529600 \ m^7 + 38842295322543857048584993798915015381242822350960115776 m^8 - 11977071510600270869993287839723146766334467103996360384 \ m^9 + 3064877141311112788055360572756454332334181402155611056 m^10 - 655828518870095722513179003016360013477680204370074864 m^11 \ + 117968314610596145592884912144437988396901762588699996 m^12 - 17895724221835467944634274819082594251833625120065604 m^13 \ + 2292729221390857842503859950799755476248990408747231 m^14 - 247970194704968571836284614372128599115409439635319 m^15 + 22588176260059479766324192354160295812618771714406 m^16 - 1725218156440506232417252241434654140718108958374 m^17 + 109692873737542509425927837292855053158041055101 m^18 - 5744511450959654543576322993076707137506940509 m^19 + 243931242664863662691139964299771713940359696 m^20 - 8203982647704992618650106011951114190120824 m^21 + 210532402825226293370146658923798367392521 m^22 - 3856319076766649431647791034920802036769 m^23 + 43252023924015728211337663723597498446 m^24 - 137184822333225576953924757827927998 m^25 - 3034943408439526525677556836376181 m^26 + 31170287564101843436394145041861 m^27))}}}