From Hugo.Pfoertner (AT) muc.mtu.de, Feb 01 2006 Comparison of lengths of addition chains produced by various methods covering the range n=2...2048. Binary method (OEIS A056792) l(n) = log_2(n) + (number of bits=1 in binary representation of n) - 1 Factor method (OEIS A064097): l(1) = 0; if n is prime l(n)=l(n-1)+1; else {n=j*k j,k>1; l(k*j)=l(k)+l(j)}, beats power tree only in very rare cases (6 for n<10^5): 19879 39758 43277 60749 79516 86554 121498 136199 159032 173069 173108 183929 242996 252941 272398 318064 346138 346216 362861 367757 367858 453281 456017 485992 505882 544796 561727 579193 603167 636128 637969 692276 692432 725722 735514 735709 735716 772193 906562 912034 931297 963649 971984 1011764 1051727 Knuth's power tree method (OEIS A114622): never worse than binary method, loses by 1 against shortest chain for n= 77 154 233 293 308 319 359 367 377 382 423 457 466 551 553 559 571 573 586 616 617 619 623 638 699 713 717 718 734 754 764 813 841 846 849 869 879 905 914 932 1007 1051 1063 1069 1102 1103 1106 1115 1118 1133 1137 1142 1146 1147 1157 1172 1175 1181 1207 1213 1231 1232 1234 1237 1238 1246 1255 1265 1269 1276 1335 1357 1369 1385 1387 1393 1398 1399 1402 1415 1417 1421 1426 1434 1436 1465 1468 1481 1486 1508 1528 1593 1609 1626 1641 1659 1671 1673 1681 1682 1692 1698 1711 1738 1758 1787 1801 1810 1828 1864 1867 1869 1883 1897 1901 1915 1999 2011 2014 2027 2029 2033 2039 2063 Shortest possible addition chains (OEIS A003313). Author: Hugo Pfoertner http://www.pfoertner.org/ Date of last change: Feb 1 2006 ----------------------------------------------------------- n=2....2048 plus selected values for which all 4 lengths are mutually different. n l_binary | | l_factor | | | l_power_tree | | | | l_shortest | | | | | 2 1 1 1 1 3 2 2 2 2 4 2 2 2 2 5 3 3 3 3 6 3 3 3 3 7 4 4 4 4 8 3 3 3 3 9 4 4 4 4 10 4 4 4 4 11 5 5 5 5 12 4 4 4 4 13 5 5 5 5 14 5 5 5 5 15 6 5 5 5 16 4 4 4 4 17 5 5 5 5 18 5 5 5 5 19 6 6 6 6 20 5 5 5 5 21 6 6 6 6 22 6 6 6 6 23 7 7 6 6 24 5 5 5 5 25 6 6 6 6 26 6 6 6 6 27 7 6 6 6 28 6 6 6 6 29 7 7 7 7 30 7 6 6 6 31 8 7 7 7 32 5 5 5 5 33 6 7 6 6 34 6 6 6 6 35 7 7 7 7 36 6 6 6 6 37 7 7 7 7 38 7 7 7 7 39 8 7 7 7 40 6 6 6 6 41 7 7 7 7 42 7 7 7 7 43 8 8 7 7 44 7 7 7 7 45 8 7 7 7 46 8 8 7 7 47 9 9 8 8 48 6 6 6 6 49 7 8 7 7 50 7 7 7 7 51 8 7 7 7 52 7 7 7 7 53 8 8 8 8 54 8 7 7 7 55 9 8 8 8 56 7 7 7 7 57 8 8 8 8 58 8 8 8 8 59 9 9 8 8 60 8 7 7 7 61 9 8 8 8 62 9 8 8 8 63 10 8 8 8 64 6 6 6 6 65 7 8 7 7 66 7 8 7 7 67 8 9 8 8 68 7 7 7 7 69 8 9 8 8 70 8 8 8 8 71 9 9 9 9 72 7 7 7 7 73 8 8 8 8 74 8 8 8 8 75 9 8 8 8 76 8 8 8 8 77 9 9 9 8 78 9 8 8 8 79 10 9 9 9 80 7 7 7 7 81 8 8 8 8 82 8 8 8 8 83 9 9 8 8 84 8 8 8 8 85 9 8 8 8 86 9 9 8 8 87 10 9 9 9 88 8 8 8 8 89 9 9 9 9 90 9 8 8 8 91 10 9 9 9 92 9 9 8 8 93 10 9 9 9 94 10 10 9 9 95 11 9 9 9 96 7 7 7 7 97 8 8 8 8 98 8 9 8 8 99 9 9 8 8 100 8 8 8 8 101 9 9 9 9 102 9 8 8 8 103 10 9 9 9 104 8 8 8 8 105 9 9 9 9 106 9 9 9 9 107 10 10 9 9 108 9 8 8 8 109 10 9 9 9 110 10 9 9 9 111 11 9 9 9 112 8 8 8 8 113 9 9 9 9 114 9 9 9 9 115 10 10 9 9 116 9 9 9 9 117 10 9 9 9 118 10 10 9 9 119 11 9 9 9 120 9 8 8 8 121 10 10 9 9 122 10 9 9 9 123 11 9 9 9 124 10 9 9 9 125 11 9 9 9 126 11 9 9 9 127 12 10 10 10 128 7 7 7 7 129 8 10 8 8 130 8 9 8 8 131 9 10 9 9 132 8 9 8 8 133 9 10 9 9 134 9 10 9 9 135 10 9 9 9 136 8 8 8 8 137 9 9 9 9 138 9 10 9 9 139 10 11 10 10 140 9 9 9 9 141 10 11 10 10 142 10 10 10 10 143 11 10 10 10 144 8 8 8 8 145 9 10 9 9 146 9 9 9 9 147 10 10 9 9 148 9 9 9 9 149 10 10 9 9 150 10 9 9 9 151 11 10 10 10 152 9 9 9 9 153 10 9 9 9 154 10 10 10 9 155 11 10 10 10 156 10 9 9 9 157 11 10 10 10 158 11 10 10 10 159 12 10 10 10 160 8 8 8 8 161 9 11 9 9 162 9 9 9 9 163 10 10 9 9 164 9 9 9 9 165 10 10 9 9 166 10 10 9 9 167 11 11 10 10 168 9 9 9 9 169 10 10 10 10 170 10 9 9 9 171 11 10 10 10 172 10 10 9 9 173 11 11 10 10 174 11 10 10 10 175 12 10 10 10 176 9 9 9 9 177 10 11 10 10 178 10 10 10 10 179 11 11 10 10 180 10 9 9 9 181 11 10 10 10 182 11 10 10 10 183 12 10 10 10 184 10 10 9 9 185 11 10 10 10 186 11 10 10 10 187 12 10 10 10 188 11 11 10 10 189 12 10 10 10 190 12 10 10 10 191 13 11 11 11 192 8 8 8 8 193 9 9 9 9 194 9 9 9 9 195 10 10 9 9 196 9 10 9 9 197 10 11 10 10 198 10 10 9 9 199 11 11 10 10 200 9 9 9 9 201 10 11 10 10 202 10 10 10 10 203 11 11 10 10 204 10 9 9 9 205 11 10 10 10 206 11 10 10 10 207 12 11 10 10 208 9 9 9 9 209 10 11 10 10 210 10 10 10 10 211 11 11 10 10 212 10 10 10 10 213 11 11 10 10 214 11 11 10 10 215 12 11 10 10 216 10 9 9 9 217 11 11 10 10 218 11 10 10 10 219 12 10 10 10 220 11 10 10 10 221 12 10 10 10 222 12 10 10 10 223 13 11 11 11 224 9 9 9 9 225 10 10 10 10 226 10 10 10 10 227 11 11 10 10 228 10 10 10 10 229 11 11 10 10 230 11 11 10 10 231 12 11 10 10 232 10 10 10 10 233 11 11 11 10 234 11 10 10 10 235 12 12 11 11 236 11 11 10 10 237 12 11 11 11 238 12 10 10 10 239 13 11 11 11 240 10 9 9 9 241 11 10 10 10 242 11 11 10 10 243 12 10 10 10 244 11 10 10 10 245 12 11 10 10 246 12 10 10 10 247 13 11 11 11 248 11 10 10 10 249 12 11 10 10 250 12 10 10 10 251 13 11 11 11 252 12 10 10 10 253 13 12 11 11 254 13 11 11 11 255 14 10 10 10 256 8 8 8 8 257 9 9 9 9 258 9 11 9 9 259 10 11 10 10 260 9 10 9 9 261 10 11 10 10 262 10 11 10 10 263 11 12 11 11 264 9 10 9 9 265 10 11 10 10 266 10 11 10 10 267 11 11 11 11 268 10 11 10 10 269 11 12 11 11 270 11 10 10 10 271 12 11 11 11 272 9 9 9 9 273 10 11 10 10 274 10 10 10 10 275 11 11 11 11 276 10 11 10 10 277 11 12 11 11 278 11 12 11 11 279 12 11 11 11 280 10 10 10 10 281 11 11 10 10 282 11 12 11 11 283 12 13 11 11 284 11 11 11 11 285 12 11 11 11 286 12 11 11 11 287 13 11 11 11 288 9 9 9 9 289 10 10 10 10 290 10 11 10 10 291 11 10 10 10 292 10 10 10 10 293 11 11 11 10 294 11 11 10 10 295 12 12 11 11 296 10 10 10 10 297 11 11 10 10 298 11 11 10 10 299 12 12 11 11 300 11 10 10 10 301 12 12 11 11 302 12 11 11 11 303 13 11 11 11 304 10 10 10 10 305 11 11 11 11 306 11 10 10 10 307 12 11 11 11 308 11 11 11 10 309 12 11 11 11 310 12 11 11 11 311 13 12 11 11 312 11 10 10 10 313 12 11 11 11 314 12 11 11 11 315 13 11 11 11 316 12 11 11 11 317 13 12 11 11 318 13 11 11 11 319 14 12 12 11 320 9 9 9 9 321 10 12 10 10 322 10 12 10 10 323 11 11 10 10 324 10 10 10 10 325 11 11 10 10 326 11 11 10 10 327 12 11 11 11 328 10 10 10 10 329 11 13 11 11 330 11 11 10 10 331 12 12 11 11 332 11 11 10 10 333 12 11 11 11 334 12 12 11 11 335 13 12 11 11 336 10 10 10 10 337 11 11 11 11 338 11 11 11 11 339 12 11 11 11 340 11 10 10 10 341 12 12 11 11 342 12 11 11 11 343 13 12 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