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User:Daniel Forgues/Contributions
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Lists of my previous, current and future contributions
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Primes pairs between ((n / 2) − ( log n) 2 ) and ((n / 2) + ( log n) 2 ) adding to even n
- Main article page: Primes pairs between ( (n/2) - ( log(n) )^2 ) and ( (n/2) + ( log(n) )^2 ) adding to even n
((n / 2) − ( log n) 2 ) |
((n / 2) + ( log n) 2 ) |
n |
n |
n / 2 |
n / 2 |
Distinct primes in pairs adding to
n |
n / 2 |
(4 primes)
(1.5 pairs)
2 ■3■ □5□ ■7■
(11 primes)
(3 pairs)
■47■ 43 ■41■ 37 31 ■29■ ■53■ ■59■ 61 67 ■71■
(14 primes)
(2 pairs)
499 ■491■ 487 ■479■ 467 463 461 457 503 ■509■ ■521■ 523 541 547
(23 primes)
(1 pair)
4999 4993 4987 4973 4969 4967 4957 4951 4943 4937 4933 4931 ■4919■ 5003 5009 5011 5021 5023 5039 5051 5059 5077 ■5081■
(29 primes)
(2 pairs)
49999 49993 49991 49957 49943 49939 49937 49927 49921 49919 49891 ■49877■ ■49871■ 50021 50023 50033 50047 50051 50053 50069 50077 50087 50093 50101 50111 50119 ■50123■ ■50129■ 50131
(27 primes)
(1 pair)
499979 499973 499969 499957 ■499943■ 499927 499903 499897 499883 499879 499853 499819 500009 500029 500041 ■500057■ 500069 500083 500107 500111 500113 500119 500153 500167 500173 500177 500179
(41 primes)
(2 pairs)
499999993 ■499999931■ 499999909 499999897 499999873 499999853 499999847 499999831 499999751 499999723 499999697 499999693 ■499999613■ 500000003 500000009 500000041 500000057 ■500000069■ 500000071 500000077 500000089 500000093 500000099 500000101 500000117 500000183 500000201 500000227 500000231 500000233 500000261 500000273 500000299 500000317 500000321 500000323 500000353 500000359 500000377 ■500000387■ 500000393
(52 primes)
(2 pairs)
499999999979 499999999943 499999999901 499999999897 499999999847 499999999819 499999999799 ■499999999769■ 499999999739 499999999699 499999999661 499999999643 499999999571 499999999559 499999999511 499999999507 499999999501 499999999487 499999999451 499999999427 499999999403 499999999391 499999999357 ■499999999277■ 500000000023 500000000033 500000000089 500000000131 500000000147 500000000173 500000000191 500000000209 ■500000000231■ 500000000243 500000000263 500000000273 500000000333 500000000387 500000000413 500000000471 500000000509 500000000537 500000000551 500000000609 500000000611 500000000623 500000000627 500000000651 500000000677 ■500000000723■ 500000000737 500000000761
A280172
Studying the sequence (created by Peter Kagey, Dec 27 2016):
A280172 Lexicographically earliest table of positive integers read by antidiagonals such that no row or column contains a repeated term.
- {1, 2, 2, 3, 1, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 3, 1, 3, 5, 6, 6, 2, 2, 6, 6, 7, 5, 7, 1, 7, 5, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 7, 5, 7, 1, 7, 5, 7, 9, 10, 10, 6, 6, 2, 2, 6, 6, 10, 10, 11, 9, 11, 5, 3, 1, 3, 5, 11, 9, 11, 12, 12, 12, 12, 4, 4, 4, 4, 12, 12, 12, 12, ...}
A?????? t(A280172(n)), n >= 1.
- {1, 3, 3, 6, 1, 6, 10, 10, 10, 10, 15, 6, 1, 6, 15, 21, 21, 3, 3, 21, 21, ...}
|
|
|
A006943 Rows of Sierpiński’s triangle (Pascal’s triangle mod 2). A047999 Concatenated rows of Sierpiński’s triangle (Pascal’s triangle mod 2). |
(A001317) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 | 1 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 1 | 1 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 1 | 0 | 1 | 5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 1 | 1 | 1 | 1 | 15 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 17 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 51 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 85 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 255 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 257 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 771 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1285 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 3855 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 4369 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 13107 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 21845 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 65535 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 65537 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 196611 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
18 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 327685 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 983055 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1114129 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 3342387 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
22 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 5570645 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
23 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 16711935 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
24 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 16843009 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 50529027 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
26 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 84215045 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
27 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 252645135 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
28 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 286331153 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
29 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 858993459 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
30 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1431655765 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
31 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 4294967295 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
32 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 4294967297 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 |
Algorithm:
-
;T (1, 1) = 1
- Left and right triangles (copied from above, terms incremented by
): For2 k
:k ≥ 0, 1 ≤ i ≤ 2 k, 0 ≤ j ≤ i − 1
-
T (2 k + i, 1 + j) = T (2 k + i, 2 k + i − j) = T (i, 1 + j) + 2 k;
- Central triangle (reflected from above, for
the row reflects on itself): Fori = 2 k
:k ≥ 0, 1 ≤ i ≤ 2 k − 1, 0 ≤ j ≤ i − 1
-
T (2 k +1 − i, 2 k − i + 1 + j) = T (i, 1 + j).
1 ≤ j ≤ i |
-
;T (1, 1) = 1
- Left and right triangles (copied from above, terms incremented by
): for2 k k ≥ 0, 1 ≤ i ≤ 2 k, 1 ≤ j ≤ i
-
T (2 k + i, j) = T (2 k + i, 2 k + i + 1 − j) = T (i, j) + 2 k;
- Central triangle (reflected from above, for
the row reflects on itself): fori = 2 k k ≥ 0, 1 ≤ i ≤ 2 k − 1, 1 ≤ j ≤ i
-
T (2 k +1 − i, 2 k − i + j) = T (i, j).
Observations:
- Row
:n
- First and last terms are
;n
- First and last terms are
- Row
:2 n
- The
terms of row2 n
are twice the terms of row2 n
, each term repeated twice.n
- The
- Row
:2 n
- The
terms are2 n
,2 n - The triangle of terms above is reflected below (this implies that all central terms of odd-indexed rows are 1).
- The
A?????? Row sums of equilateral triangle for A280172.
- {1, 4, 7, 16, 17, 28, 39, 64, 57, 68, 79, 112, 121, 156, 191, 256, ...}
2 n |
n |
- {1, 7, 17, 39, 57, 79, 121, 191, ...}
Future
Category:Program code Program code Category:Maple code Maple code Maple Programs to Format Sequences Transformations of Integer Sequences
See also
- Riffs and Rotes
- Segner numbers (REDIRECT to Catalan numbers)
- Sequences from Comtet's Advanced Combinatorics
- Sequences from Graham, Knuth, Patashnik "Concrete Math"
- Sequences from Harary and Palmer's Graphical Enumeration
- Sequences from Stanley's Enumerative Combinatorics
Notes
- ↑ Weisstein, Eric W., Figurate Number Triangle, from MathWorld—A Wolfram Web Resource..