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Number of Maclaurin polynomials p(2m-1,x) of sin(x) having exactly n positive zeros.
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%I #11 Jan 21 2025 23:55:41

%S 3,4,5,4,4,4,4,5,4,4,5,4,4,4,4,5,4,4,5,4,4,4,4,5,4,4,5,4,4,4,4,5,4,4,

%T 5,4,4,5,4,4,4,4,5,4,4,5,4,4,4,4,5,4,4,5,4,4,5,4,4,4,4,5,4,4,5,4,4,5,

%U 4,4,4,4,5,4,4,5,4,4,4,4,5,4,4,5,4,4,5,4

%N Number of Maclaurin polynomials p(2m-1,x) of sin(x) having exactly n positive zeros.

%C Maclaurin polynomial p(2m-1,x) of sin(x) is x - x^3/3! + x^5/5! - ... - (-1)^m*x^(2m-1)/(2m-1)!.

%e a(1) counts these values of 2m-1: 3, 5, and 11. The single zeros of p(3,x), p(5,x), and p(11,x) are sqrt(6), 3.078642..., and 3.141148..., respectively.

%t z = 60; p[n_, x_] := Normal[Series[Sin[x], {x, 0, n}]];

%t t[n_] := x /. NSolve[p[n, x] == 0, x, z];

%t u[n_] := Select[t[n], Im[#] == 0 && # > 0 &];

%t v = Table[Length[u[n]], {n, 2, 100, 2}]

%t Table[Count[v, n], {n, 1, 10}]

%Y Cf. A012265, A332325.

%K nonn

%O 1,1

%A _Clark Kimberling_, Feb 13 2020

%E More terms from _Jinyuan Wang_, Jan 21 2025