Examination of the relationships of the species of numbers enumerated in A010846. Michael Thomas De Vlieger, St. Louis, Missouri, 201802241100, revised 201802261730. Concerns sequences: A000005: Divisor counting function. A000027: The positive integers. A000079: Powers 2^k with k >= 0. A000961: Prime powers p^e with e >= 0. A001221: Number of distinct prime divisors p of n (little omega(n)). A002182: Numbers that set records in A000005. A010846: Number of numbers less than n that divide n^e with integer e >= 0. A027750: Triangle read by rows in which row n lists the divisors of n. A162306: Irregular triangle in which row n contains the numbers <= n whose prime factors are a subset of prime factors of n. A243822: Nondivisors m < n that divide n^e with integer e > 1. A244052: Numbers that set records in A010846. A272618: Irregular array read by rows: n-th row contains (in ascending order) the nondivisors 1 <= k < n such that all the prime divisors p of k also divide n. A294492: Numbers that set records in A243822. A299990: A243822(n) - 2 A000005(n). (as A010846(n) = A000005(n) + A243822(n)). A299991: Numbers n for which A243822(n) > A000005(n). A299992: Numbers n with A001221(n) > 1 for which A243822(n) < A000005(n). A300155: Numbers n for which A243822(n) = A000005(n). A300156: Numbers that set records in A299990. A300157: Records in A299990. Contents: 1. Table 1: Relationship of A244052 and A299990. 2. Observations regarding Table 1. 3. Table 2: Relationship of A244052, A294492, and A300156. 4. Observations regarding Table 2. Notes: consider a positive integer n and consider the range 1 <= m <= n. Let A010846(n) be the number of m | n^e with e >= 0. All m are products of primes p | n or m = 1; it might be proper rather to suggest all m are not products of primes q coprime to n. These m appear in row n of A162306. There are 2 possible species of m in row n of A162306: terms d | n^e with 0 <= e <= 1 (i.e., divisors, see A027750), and "semidivisors" k | n^e with e > 1 (see A272618). These semidivisors are nondivisors in the cototient of n and appear in A133995. Observe that for n = p^e, i.e., n in A000961, A010846(n) = A000005(n) and row n in A162306 is identical to row n in A000005. This is because all p^i for 0 <= i <= e divide p^e; only divisors appear in the cototient of p^e. The premise of this study concerns the difference between A243822(n) and A000005(n), the two species in A010846(n). Let A299990(n) = A243822(n) - A000005(n) = A010846(n) - 2*A000005(n), as A010846(n) = A000005(n) + A243822(n). We select this difference rather than A000005(n) - A243822(n) since this latter difference equals A000005(n) for n in A000961(n). I have computed A010846(n) for 1 <= n <= 36,000,000 over several days in October-November 2017 (446 Mb b-file) and thus have calculated sequences A299990-2 and A300155-7 using this broad dataset. This study yields six sequences: A299990, A299991, A299992, A300155, A300156, and A300157. The tables relate the numbers that set records in A000005, A010846, and A243822 to A299990 and A300156. +-----------------------------------------------+ | Table 1: Relationship of A244052 and A299990. | +-----------------------------------------------+ n = index in this document. A244052(n) = index of record A244053(n) in r(n) = A010846. A287352(A244052(n)) = compact multiplicity notation of A244052(n). a(n) = A299990(n) = A243822(n) - 2 A000005(n); observe A010846(n) = A000005(n) + A243822(n). b(n) = position of A244052(n) in the indices of the record transform of A299990(n). c(n) = position of A244052(n) in A299991(n). * Note: A010846 has been calculated for each integer 1 <= n <= 36,000,000. r(A244052(n)) n A244052(n) A287352(A244052(n)) A244053(n) A000005(n) a(A244052(n)) b(n) c(n) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 1 0 1 1 -1 1 2 2 1 2 2 -2 3 4 10 3 3 -3 4 6 11 5 4 -3 5 10 12 6 4 -2 6 12 101 8 6 -4 7 18 110 10 6 -2 8 24 1001 11 8 -5 9 30 111 18 8 2 2 1 10 42 112 19 8 3 3 2 11 60 1011 26 12 2 3 12 84 1012 28 12 4 9 13 90 1101 32 12 8 6 11 14 120 10011 36 16 4 19 15 150 1110 41 12 17 10 29 16 180 10101 44 18 8 40 17 210 1111 68 16 36 11 50 18 330 1112 77 16 45 12 96 19 390 1113 80 16 48 13 120 20 420 10111 96 24 48 131 21 630 11011 115 24 67 16 227 22 840 100111 131 32 67 337 23 1050 11101 145 24 97 19 455 24 1260 101011 156 36 84 574 25 1470 11110 166 24 118 20 694 26 1680 1000111 174 40 94 817 27 1890 110011 183 32 119 21 940 28 2100 101101 192 36 120 22 1064 29 2310 11111 283 32 219 23 1189 30 2730 11112 295 32 231 24 1443 31 3570 11113 313 32 249 25 1956 32 3990 11114 322 32 258 26 2215 33 4620 101111 382 48 286 27 2613 34 5460 101112 395 48 299 28 3153 35 6930 110111 452 48 356 30 4103 36 8190 110112 463 48 367 31 4925 37 9240 1001111 505 64 377 32 5615 38 10920 1001112 519 64 391 6723 39 11550 111011 551 48 455 34 7136 40 13650 111012 567 48 471 35 8528 41 13860 1010111 593 72 449 8668 42 16170 111101 629 48 533 36 10231 43 18480 10001111 660 80 500 11847 44 20790 1100111 691 64 563 38 13480 45 23100 1011011 717 72 573 39 15139 46 25410 111110 743 48 647 41 16787 47 27720 10010111 766 96 574 18446 48 30030 111111 1161 64 1033 42 20106 49 39270 111112 1224 64 1096 43 26861 50 43890 111113 1253 64 1125 44 30242 51 46410 111121 1257 64 1129 45 32095 52 51870 111122 1285 64 1157 46 36111 53 53130 111114 1306 64 1178 47 37036 54 60060 1011111 1526 96 1334 48 42141 55 78540 1011112 1597 96 1405 49 55792 56 87780 1011113 1631 96 1439 50 62653 57 90090 1101111 1779 96 1587 51 64369 58 117810 1101112 1856 96 1664 52 85045 59 120120 10011111 1977 128 1721 53 86808 60 150150 1110111 2144 96 1952 54 109781 61 180180 10101111 2294 144 2006 55 132821 62 210210 1111011 2420 96 2228 57 155909 63 240240 100011111 2538 160 2218 179029 64 270270 11001111 2645 128 2389 58 202199 65 300300 10110111 2743 144 2455 59 225497 66 330330 1111101 2836 96 2644 60 248868 67 360360 100101111 2921 192 2537 272228 68 390390 1111110 3001 96 2809 61 295607 69 420420 10111011 3080 144 2792 319021 70 450450 11010111 3153 144 2865 62 342428 71 480480 1000011111 3223 192 2839 365859 72 510510 1111111 4843 128 4587 63 389308 73 570570 1111112 4939 128 4683 64 436376 74 690690 1111113 5119 128 4863 65 530797 75 746130 1111121 5138 128 4882 66 574477 76 870870 1111114 5364 128 5108 67 672910 77 930930 1111115 5436 128 5180 68 720365 78 1021020 10111111 6225 192 5841 69 791650 79 1141140 10111112 6337 192 5953 70 886818 80 1381380 10111113 6546 192 6162 71 1077412 81 1492260 10111121 6560 192 6176 72 1165492 82 1531530 11011111 7178 192 6794 73 1196693 83 1711710 11011112 7299 192 6915 74 1339908 84 2042040 100111111 7928 256 7416 75 1605323 85 2282280 100111112 8055 256 7543 76 1799873 86 2552550 11101111 8553 192 8169 77 2018942 87 2852850 11101112 8685 192 8301 78 2262534 88 3063060 101011111 9099 288 8523 79 2433288 89 3423420 101011112 9236 288 8660 80 2726206 90 3573570 11110111 9580 192 9196 81 2848376 91 3993990 11110112 9719 192 9335 82 3190708 92 4084080 1000111111 10010 320 9370 83 3264094 93 4564560 1000111112 10155 320 9515 84 3655544 94 4594590 110011111 10414 256 9902 85 3680015 95 5105100 101101111 10777 288 10201 86 4098137 96 5615610 11111011 11120 192 10736 87 4517988 97 6126120 1001011111 11441 384 10673 4938086 98 6636630 11111101 11740 192 11356 89 5358377 99 7147140 101110111 12027 288 11451 90 5778821 100 7657650 110101111 12293 288 11717 92 6199386 101 8168160 10000111111 12549 384 11781 93 6620347 102 8678670 11111110 12799 192 12415 95 7041545 103 9189180 1010011111 13037 384 12269 7462841 104 9699690 11111111 19985 256 19473 96 7884254 105 11741730 11111112 20605 256 20093 97 9570528 106 13123110 11111121 20929 256 20417 98 10712728 107 14804790 11111113 21453 256 20941 99 12105430 108 15825810 11111114 21713 256 21201 100 12952245 109 16546530 11111122 21769 256 21257 101 13550205 110 17687670 11111123 22028 256 21516 102 14497787 111 18888870 11111115 22443 256 21931 103 15495718 112 19399380 101111111 25289 384 24521 104 15919865 113 23483460 101111112 26005 384 25237 105 19317180 114 26246220 101111121 26370 384 25602 106 21626416 115 29099070 110111111 28924 384 28156 107 24015795 116 35225190 110111112 29701 384 28933 108 29152084 117* 38798760* 1001111111 31776 512 30752 118 46966920 1001111112 32594 512 31570 119 48498450 111011111 34150 384 33382 120 58198140 1010111111 36204 576 35052 121 67897830 111101111 38028 384 37260 122 77597520 10001111111 39660 640 38380 123 87297210 1100111111 41161 512 40137 124 96996900 1011011111 42543 576 41391 125 106696590 111110111 43827 384 43059 126 116396280 10010111111 45029 768 43493 127 126095970 111111011 46156 384 45388 128 135795660 1011101111 47233 576 46081 129 145495350 1101011111 48240 576 47088 130 155195040 100001111111 49202 768 47666 131 164894730 111111101 50130 384 49362 132 174594420 10100111111 51014 768 49478 133 184294110 111111110 51861 384 51093 134 193993800 10011011111 52680 768 51144 135 203693490 1101101111 53468 576 52316 136 213393180 1011110111 54226 576 53074 137 223092870 111111111 83074 512 82050 138 281291010 111111112 86054 512 85030 139 300690390 111111113 86978 512 85954 140 340510170 111111121 88168 512 87144 141 358888530 111111114 89598 512 88574 142 397687290 111111115 91214 512 90190 143 417086670 111111116 91993 512 90969 144 446185740 1011111111 103747 768 102211 145 562582020 1011111112 107188 768 105652 146 601380780 1011111113 108267 768 106731 147 669278610 1101111111 117837 768 116301 148 843873030 1101111112 121572 768 120036 149 892371480 10011111111 128844 1024 126796 150 1115464350 1110111111 137989 768 136453 151 1338557220 10101111111 145890 1152 143586 152 1561650090 1111011111 152876 768 151340 153 1784742960 100011111111 159160 1280 156600 154 2007835830 11001111111 164894 1024 162846 155 2230928700 10110111111 170187 1152 167883 156 2454021570 1111101111 175094 768 173558 157 2677114440 100101111111 179692 1536 176620 158 2900207310 1111110111 184000 768 182464 159 3123300180 10111011111 188085 1152 185781 160 3346393050 11010111111 191949 1152 189645 161 3569485920 1000011111111 195627 1536 192555 162 3792578790 1111111011 199150 768 197614 163 4015671660 101001111111 202514 1536 199442 164 4238764530 1111111101 205745 768 204209 165 4461857400 100110111111 208859 1536 205787 166 4684950270 11011011111 211853 1152 209549 167 4908043140 10111101111 214739 1152 212435 168 5131136010 1111111110 217534 768 215998 169 5354228880 1000101111111 220238 1920 216398 170 5577321750 11100111111 222860 1024 220812 171 5800414620 10111110111 225410 1152 223106 172 6023507490 110001111111 227879 1280 225319 173 6246600360 100111011111 230293 1536 227221 174 6469693230 1111111111 349670 1024 347622 175 6915878970 1111111112 352998 1024 350950 176 8254436190 1111111113 362468 1024 360420 177 8720021310 1111111121 363560 1024 361512 178 9146807670 1111111114 368348 1024 366300 179 9592993410 1111111115 371174 1024 369126 180 10407767370 1111111122 373037 1024 370989 181 10485364890 1111111116 376626 1024 374578 182 11532931410 1111111123 378944 1024 376896 183 11823922110 1111111117 384339 1024 382291 184 12929686770 1111111133 385136 1024 383088 185 12939386460 10111111111 431624 1536 428552 186 13831757940 10111111112 435480 1536 432408 187 16508872380 10111111113 446460 1536 443388 188 17440042620 10111111121 447583 1536 444511 189 18293615340 10111111114 453304 1536 450232 190 19185986820 10111111115 456596 1536 453524 191 19409079690 11011111111 487176 1536 484104 192 20747636910 11011111112 491365 1536 488293 193 24763308570 11011111113 503307 1536 500235 194 25878772920 100111111111 530392 2048 526296 195 27663515880 100111111112 534821 2048 530725 196 32348466150 11101111111 566239 1536 563167 197 34579394850 11101111112 570877 1536 567805 198 38818159380 101011111111 597138 2304 592530 199 41495273820 101011111112 601928 2304 597320 200 45287852610 11110111111 624417 1536 621345 201 48411152790 11110111112 629355 1536 626283 202 51757545840 1000111111111 648948 2560 643828 203 55327031760 1000111111112 654009 2560 648889 204 58227239070 110011111111 671297 2048 667201 205 62242910730 110011111112 676486 2048 672390 206 64696932300 101101111111 691878 2304 687270 207 69158789700 101101111112 697158 2304 692550 208 71166625530 11111011111 710992 1536 707920 209 76074668670 11111011112 716352 1536 713280 210 77636318760 1001011111111 728833 3072 722689 211 82990547640 1001011111112 734288 3072 728144 212 84106011990 11111101111 745602 1536 742530 213 89906426610 11111101112 751131 1536 748059 214 90575705220 101110111111 761438 2304 756830 215 96822305580 101110111112 767049 2304 762441 216 97045398450 110101111111 776445 2304 771837 217 103515091680 10000111111111 790734 3072 784590 218 109984784910 11111110111 804368 1536 801296 219 116454478140 1010011111111 817412 3072 811268 220 122924171370 11111111011 829930 1536 826858 221 129393864600 1001101111111 841952 3072 835808 222 135863557830 110110111111 853533 2304 848925 223 142333251060 101111011111 864733 2304 860125 224 148802944290 11111111101 875544 1536 872472 225 155272637520 10001011111111 885995 3840 878315 226 161742330750 111001111111 896134 2048 892038 227 168212023980 101111101111 905970 2304 901362 228 174681717210 1100011111111 915521 2560 910401 229 181151410440 1001110111111 924832 3072 918688 230 187621103670 11111111110 933876 1536 930804 231 194090796900 1010101111111 942700 3456 935788 232 200560490130 11111111111 1456458 2048 1452362 233 239378649510 11111111112 1490913 2048 1486817 234 255887521890 11111111121 1502991 2048 1498895 235 265257422430 11111111113 1512524 2048 1508428 236 278196808890 11111111114 1522919 2048 1518823 237 283551037770 11111111122 1524612 2048 1520516 238 297382795710 11111111123 1535022 2048 1530926 239 304075581810 11111111115 1543031 2048 1538935 240 325046311590 11111111124 1555179 2048 1551083 241 338431883790 11111111131 1559290 2048 1555194 242 342893741190 11111111116 1571546 2048 1567450 243 366541585410 11111111125 1583729 2048 1579633 244 381711900570 11111111117 1598293 2048 1594197 245 394651287030 11111111118 1606850 2048 1602754 246 401120980260 101111111111 1781418 3072 1775274 247 478757299020 101111111112 1821171 3072 1815027 248 511775043780 101111111121 1835018 3072 1828874 249 530514844860 101111111113 1846173 3072 1840029 250 556393617780 101111111114 1858221 3072 1852077 251 567102075540 101111111122 1860041 3072 1853897 252 594765591420 101111111123 1872102 3072 1865958 253 601681470390 110111111111 2000647 3072 1994503 254 718135948530 110111111112 2043784 3072 2037640 255 767662565670 110111111121 2058749 3072 2052605 256 795772267290 110111111113 2070946 3072 2064802 257 802241960520 1001111111111 2170709 4096 2162517 258 957514598040 1001111111112 2216328 4096 2208136 259 1002802450650 111011111111 2311529 3072 2305385 260 1196893247550 111011111112 2359167 3072 2353023 261 1203362940780 1010111111111 2432654 4608 2423438 262 1403923430910 111101111111 2539521 3072 2533377 263 1604483921040 10001111111111 2635501 5120 2625261 264 1805044411170 1100111111111 2722895 4096 2714703 265 2005604901300 1011011111111 2803271 4608 2794055 266 2206165391430 111110111111 2877848 3072 2871704 267 2406725881560 10010111111111 2947459 6144 2935171 268 2607286371690 111111011111 3012854 3072 3006710 269 2807846861820 1011101111111 3074583 4608 3065367 270 3008407351950 1101011111111 3133070 4608 3123854 271 3208967842080 100001111111111 3188666 6144 3176378 272 3409528332210 111111101111 3241747 3072 3235603 273 3610088822340 10100111111111 3292514 6144 3280226 274 3810649312470 111111110111 3341183 3072 3335039 275 4011209802600 10011011111111 3387951 6144 3375663 276 4211770292730 1101101111111 3432990 4608 3423774 277 4412330782860 1011110111111 3476453 4608 3467237 278 4612891272990 111111111011 3518441 3072 3512297 279 4813451763120 100010111111111 3559064 7680 3543704 280 5014012253250 1110011111111 3598455 4096 3590263 281 5214572743380 1011111011111 3636626 4608 3627410 282 5415133233510 11000111111111 3673734 5120 3663494 283 5615693723640 10011101111111 3709814 6144 3697526 284 5816254213770 111111111101 3744918 3072 3738774 285 6016814703900 10101011111111 3779144 6912 3765320 286 6217375194030 111111111110 3812484 3072 3806340 287 6417935684160 1000001111111111 3845027 7168 3830691 288 6618496174290 1101110111111 3876830 4608 3867614 289 6819056664420 1011111101111 3907885 4608 3898669 290 7019617154550 1110101111111 3938282 4608 3929066 291 7220177644680 100100111111111 3968011 8192 3951627 292 7420738134810 111111111111 6107257 4096 6099065 293 8222980095330 111111111112 6186873 4096 6178681 294 8624101075590 111111111113 6225357 4096 6217165 295 9426343036110 111111111114 6299923 4096 6291731 296 9814524629910 111111111121 6313295 4096 6305103 297 10293281928930 111111111122 6351940 4096 6343748 298 10491388397490 111111111211 6357009 4096 6348817 299 10629705976890 111111111115 6406043 4096 6397851 300 11250796526970 111111111123 6426795 4096 6418603 301 11406069164490 111111111131 6432105 4096 6423913 302 11833068917670 111111111116 6505900 4096 6497708 303 12234189897930 111111111117 6537922 4096 6529730 304 13075250017830 111111111141 6546072 4096 6537880 305 13326898775190 111111111222 6550909 4096 6542717 306 13437552838710 111111111118 6630529 4096 6622337 307 14123340321090 111111111125 6633671 4096 6625479 308 14239794799230 111111111119 6689583 4096 6681391 309 14640915779490 111111111120 6718369 4096 6710177 310 14841476269620 1011111111111 7408979 6144 7396691 311 16445960190660 1011111111112 7500723 6144 7488435 312 17248202151180 1011111111113 7545150 6144 7532862 313 18852686072220 1011111111114 7631324 6144 7619036 314 19629049259820 1011111111121 7645530 6144 7633242 315 20586563857860 1011111111122 7690079 6144 7677791 316 20982776794980 1011111111211 7695270 6144 7682982 317 21259411953780 1011111111115 7754135 6144 7741847 318 22262214404430 1101111111111 8283263 6144 8270975 319 24668940285990 1101111111112 8382718 6144 8370430 320 25872303226770 1101111111113 8430961 6144 8418673 321 28279029108330 1101111111114 8524561 6144 8512273 322 29443573889730 1101111111121 8539233 6144 8526945 323 29682952539240 10011111111111 8959601 8192 8943217 324 32891920381320 10011111111112 9064864 8192 9048480 325 34496404302360 10011111111113 9115975 8192 9099591 326 37103690674050 1110111111111 9518567 6144 9506279 327 41114900476650 1110111111112 9628523 6144 9616235 328 43120505377950 1110111111113 9681889 6144 9669601 329 44524428808860 10101111111111 9998688 9216 9980256 330 49337880571980 10101111111112 10112569 9216 10094137 331 51744606453540 10101111111113 10167907 9216 10149475 332 51945166943670 1111011111111 10421798 6144 10409510 333 57560860667310 1111011111112 10539103 6144 10526815 334 59365905078480 100011111111111 10801440 10240 10780960 335 65783840762640 100011111111112 10921761 10240 10901281 336 66786643213290 11001111111111 11146785 8192 11130401 337 74006820857970 11001111111112 11269808 8192 11253424 338 74207381348100 10110111111111 11464207 9216 11445775 339 81628119482910 1111101111111 11758448 6144 11746160 340 89048857617720 100101111111111 12033045 12288 12008469 341 96469595752530 1111110111111 12290838 6144 12278550 342 103890333887340 10111011111111 12533984 9216 12515552 343 111311072022150 11010111111111 12764331 9216 12745899 344 118731810156960 1000011111111111 12983244 12288 12958668 345 126152548291770 1111111011111 13192042 6144 13179754 346 133573286426580 101001111111111 13391692 12288 13367116 347 140994024561390 1111111101111 13583096 6144 13570808 348 148414762696200 100110111111111 13766969 12288 13742393 349 155835500831010 11011011111111 13943976 9216 13925544 350 163256238965820 10111101111111 14114689 9216 14096257 351 170676977100630 1111111110111 14279589 6144 14267301 352 178097715235440 1000101111111111 14439113 15360 14408393 353 185518453370250 11100111111111 14593675 8192 14577291 354 192939191505060 10111110111111 14743570 9216 14725138 355 200359929639870 110001111111111 14889156 10240 14868676 356 207780667774680 100111011111111 15030666 12288 15006090 357 215201405909490 1111111111011 15168400 6144 15156112 358 222622144044300 101010111111111 15302532 13824 15274884 359 230042882179110 1111111111101 15433331 6144 15421043 360 237463620313920 10000011111111111 15560886 14336 15532214 361 244884358448730 11011101111111 15685497 9216 15667065 362 252305096583540 10111111011111 15807228 9216 15788796 363 259725834718350 11101011111111 15926285 9216 15907853 364 267146572853160 1001001111111111 16042719 16384 16009951 365 274567310987970 1111111111110 16156753 6144 16144465 366 281988049122780 10111111101111 16268424 9216 16249992 367 289408787257590 11011110111111 16377915 9216 16359483 368 296829525392400 1000110111111111 16485222 15360 16454502 369 304250263527210 1111111111111 25547835 8192 25531451 370 319091739796830 1111111111112 25691103 8192 25674719 371 348774692336070 1111111111113 25969369 8192 25952985 372 353588144099190 1111111111121 25986958 8192 25970574 373 386480064480510 1111111111122 26265842 8192 26249458 374 393299121144930 1111111111114 26367005 8192 26350621 375 405332750552730 1111111111131 26409945 8192 26393561 376 422024559086130 1111111111211 26450355 8192 26433971 377 435817945052490 1111111111123 26664539 8192 26648155 378 437823549953790 1111111111115 26742668 8192 26726284 379 452665026223410 1111111111116 26863379 8192 26846995 380 483784250659710 1111111111221 26874055 8192 26857671 381 485155825624470 1111111111124 27041323 8192 27024939 382 497189455032270 1111111111117 27213034 8192 27196650 383 526070165610990 1111111111134 27307929 8192 27291545 384 526872407571510 1111111111118 27436416 8192 27420032 385 541713883841130 1111111111119 27545383 8192 27528999 386 575006925202710 1111111111143 27590902 8192 27574518 387 577814772064530 1111111111135 27659372 8192 27642988 388 583831586768430 1111111111127 27737411 8192 27721027 389 586238312649990 1111111111120 27862209 8192 27845825 390 608500527054420 10111111111111 30777070 12288 30752494 391 638183479593660 10111111111112 30941737 12288 30917161 392 697549384672140 10111111111113 31261925 12288 31237349 393 707176288198380 10111111111121 31280691 12288 31256115 394 772960128961020 10111111111122 31601378 12288 31576802 395 786598242289860 10111111111114 31720269 12288 31695693 396 810665501105460 10111111111131 31766699 12288 31742123 397 844049118172260 10111111111211 31808208 12288 31783632 398 871635890104980 10111111111123 32060677 12288 32036101 399 875647099907580 10111111111115 32153988 12288 32129412 400 905330052446820 10111111111116 32293482 12288 32268906 401 912750790581630 11011111111111 34275412 12288 34250836 402 957275219390490 11011111111112 34453699 12288 34429123 403 1046324077008210 11011111111113 34800722 12288 34776146 404 1060764432297570 11011111111121 34820065 12288 34795489 405 1159440193441530 11011111111122 35167494 12288 35142918 406 1179897363434790 11011111111114 35298019 12288 35273443 407 1215998251658190 11011111111131 35346324 12288 35321748 408 1217001054108840 100111111111111 36975389 16384 36942621 409 1276366959187320 100111111111112 37163907 16384 37131139 410 1395098769344280 100111111111113 37531070 16384 37498302 411 1414352576396760 100111111111121 37550806 16384 37518038 412 1521251317636050 11101111111111 39202990 12288 39178414 413 1595458698984150 11101111111112 39399712 12288 39375136 414 1743873461680350 11101111111113 39783125 12288 39758549 415 1767940720495950 11101111111121 39803134 12288 39778558 416 1825501581163260 101011111111111 41113927 18432 41077063 417 1914550438780980 101011111111112 41317660 18432 41280796 418 2092648154016420 101011111111113 41714768 18432 41677904 419 2121528864595140 101011111111121 41734946 18432 41698082 420 2129751844690470 11110111111111 42796158 12288 42771582 421 2233642178577810 11110111111112 43005869 12288 42981293 422 2434002108217680 1000111111111111 44304250 20480 44263290 423 2552733918374640 1000111111111112 44519303 20480 44478343 424 2738252371744890 110011111111111 45674953 16384 45642185 425 2871825658171470 110011111111112 45894790 16384 45862022 426 3042502635272100 101101111111111 46934014 18432 46897150 427 3190917397968300 101101111111112 47158213 18432 47121349 428 3346752898799310 11111011111111 48100411 12288 48075835 429 3510009137765130 11111011111112 48328621 12288 48304045 430 3651003162326520 1001011111111111 49188475 24576 49139323 431 3829100877561960 1001011111111112 49420393 24576 49371241 432 3955253425853730 11111101111111 50209382 12288 50184806 433 4148192617358790 11111101111112 50444688 12288 50420112 434 4259503689380940 101110111111111 51171876 18432 51135012 435 4467284357155620 101110111111112 51410489 18432 51373625 436 4563753952908150 110101111111111 52083254 18432 52046390 437 4786376096952450 110101111111112 52324848 18432 52287984 438 4868004216435360 10000111111111111 52949218 24576 52900066 439 5105467836749280 10000111111111112 53193674 24576 53144522 440 5172254479962570 11111110111111 53774716 12288 53750140 441 5424559576546110 11111110111112 54021869 12288 53997293 442 5476504743489780 1010011111111111 54563896 24576 54514744 443 5743651316342940 1010011111111112 54813639 24576 54764487 444 5780755007016990 11111111011111 55320185 12288 55295609 445 6062743056139770 11111111011112 55572354 12288 55547778 446 6085005270544200 1001101111111111 56046532 24576 55997380 447 6381834795936600 1001101111111112 56301066 24576 56251914 448 6389255534071410 110110111111111 56745598 18432 56708734 449 6693505797598620 101111011111111 57419570 18432 57382706 450 6997756061125830 11111111101111 58070526 12288 58045950 451 7302006324653040 10001011111111111 58700048 30720 58638608 452 7606256588180250 111001111111111 59309813 16384 59277045 453 7910506851707460 101111101111111 59901079 18432 59864215 454 8214757115234670 1100011111111111 60475204 20480 60434244 455 8519007378761880 1001110111111111 61033218 24576 60984066 456 8823257642289090 11111111110111 61576180 12288 61551604 457 9127507905816300 1010101111111111 62104885 27648 62049589 458 9431758169343510 11111111111011 62620288 12288 62595712 459 9736008432870720 100000111111111111 63122989 28672 63065645 460 10040258696397930 110111011111111 63613787 18432 63576923 461 10344508959925140 101111110111111 64093337 18432 64056473 462 10648759223452350 111010111111111 64562197 18432 64525333 463 10953009486979560 10010011111111111 65020786 32768 64955250 464 11257259750506770 11111111111101 65469664 12288 65445088 465 11561510014033980 101111111011111 65909358 18432 65872494 466 11865760277561190 110111101111111 66340279 18432 66303415 467 12170010541088400 10001101111111111 66762709 30720 66701269 468 12474260804615610 11111111111110 67177140 12288 67152564 469 12778511068142820 1010110111111111 67583798 27648 67528502 470 13082761331670030 11111111111111 106115655 16384 106082887 471 14299762385778870 11111111111112 107157561 16384 107124793 472 14997311770451010 11111111111121 107693596 16384 107660828 473 16125263966942130 11111111111113 108653223 16384 108620455 474 16618642772661930 11111111111211 108793184 16384 108760416 475 16911862209231990 11111111111122 109190977 16384 109158209 476 17950765548105390 11111111111114 110072228 16384 110039460 477 18485058693811710 11111111111131 110239894 16384 110207126 478 18559266075159810 11111111111115 110529213 16384 110496445 479 18826412648012970 11111111111123 110611835 16384 110579067 480 19464596127606630 11111111111124 111069449 16384 111036681 481 20384767656323070 11111111111116 111855268 16384 111822500 482 21275256232500270 11111111111133 112123642 16384 112090874 483 21379146566387610 11111111111125 112397465 16384 112364697 484 21601768710431910 11111111111117 112704111 16384 112671343 485 22210269237486330 11111111111118 113118627 16384 113085859 486 22655513525574930 11111111111126 113247583 16384 113214815 487 23293697005168590 11111111111127 113662782 16384 113630014 488 24035770818649590 11111111111119 114325008 16384 114292240 489 25104758231042490 11111111111216 114359639 16384 114326871 490 25208247443949570 11111111111128 114871071 16384 114838303 491 25252771872758430 11111111111120 115099993 16384 115067225 492 26165522663340060 101111111111111 127090969 24576 127041817 493 28599524771557740 101111111111112 128285120 24576 128235968 494 29994623540902020 101111111111121 128897969 24576 128848817 495 32250527933884260 101111111111113 130002703 24576 129953551 496 33237285545323860 101111111111211 130151298 24576 130102146 497 33823724418463980 101111111111122 130617066 24576 130567914 498 35901531096210780 101111111111114 131635114 24576 131585962 499 36970117387623420 101111111111131 131817247 24576 131768095 500 37118532150319620 101111111111115 132161350 24576 132112198 501 37652825296025940 101111111111123 132251188 24576 132202036 502 38929192255213260 101111111111124 132777964 24576 132728812 503 39248283995010090 110111111111111 141076766 24576 141027614 504 42899287157336610 110111111111112 142368151 24576 142318999 505 44991935311353030 110111111111121 143029979 24576 142980827 506 48375791900826390 110111111111113 144227906 24576 144178754 507 49855928317985790 110111111111211 144380748 24576 144331596 508 50735586627695970 110111111111122 144891000 24576 144841848 509 52331045326680120 1001111111111111 151849368 32768 151783832 510 57199049543115480 1001111111111112 153213665 32768 153148129 511 59989247081804040 1001111111111121 153912067 32768 153846531 512 64501055867768520 1001111111111113 155180143 32768 155114607 513 65413806658350150 111011111111111 160724367 24576 160675215 514 71498811928894350 111011111111112 162147368 24576 162098216 515 74986558852255050 111011111111121 162875241 24576 162826089 516 78496567990020180 1010111111111111 168329480 36864 168255752 517 85798574314673220 1010111111111112 169802111 36864 169728383 518 89983870622706060 1010111111111121 170554836 36864 170481108 519 91579329321690210 111101111111111 175018121 24576 174968969 520 100098336700452090 111101111111112 176533741 24576 176484589 521 104662090653360240 10001111111111111 181009970 40960 180928050 522 114398099086230960 10001111111111112 182563621 40960 182481701 523 117744851985030270 1100111111111111 186452254 32768 186386718 524 128697861472009830 1100111111111112 188040080 32768 187974544 525 130827613316700300 1011011111111111 191448498 36864 191374770 526 142997623857788700 1011011111111112 193067448 36864 192993720 527 143910374648370330 111110111111111 196074638 24576 196025486 528 156993135980040360 10010111111111111 200388101 49152 200289797 529 170075897311710390 111111011111111 204433583 24576 204384431 530 183158658643380420 1011101111111111 208246367 36864 208172639 531 196241419975050450 1101011111111111 211855056 36864 211781328 532 209324181306720480 100001111111111111 215283086 49152 215184782 533 222406942638390510 111111101111111 218549836 24576 218500684 534 235489703970060540 10100111111111111 221671944 49152 221573640 535 248572465301730570 111111110111111 224663116 24576 224613964 536 261655226633400600 10011011111111111 227535271 49152 227436967 537 274737987965070630 1101101111111111 230298900 36864 230225172 538 287820749296740660 1011110111111111 232962695 36864 232888967 539 300903510628410690 111111111011111 235534832 24576 235485680 540 313986271960080720 100010111111111111 238022005 61440 237899125 541 327069033291750750 1110011111111111 240430516 32768 240364980 542 340151794623420780 1011111011111111 242765608 36864 242691880 543 353234555955090810 11000111111111111 245032569 40960 244950649 544 366317317286760840 10011101111111111 247235492 49152 247137188 545 379400078618430870 111111111101111 249378636 24576 249329484 546 392482839950100900 10101011111111111 251465288 55296 251354696 547 405565601281770930 111111111110111 253499018 24576 253449866 548 418648362613440960 1000001111111111111 255482472 57344 255367784 549 431731123945110990 1101110111111111 257418712 36864 257344984 550 444813885276781020 1011111101111111 259310145 36864 259236417 551 457896646608451050 1110101111111111 261159104 36864 261085376 552 470979407940121080 100100111111111111 262967531 65536 262836459 553 484062169271791110 111111111111011 264737575 24576 264688423 554 497144930603461140 1011111110111111 266470911 36864 266397183 555 510227691935131170 1101111011111111 268169500 36864 268095772 556 523310453266801200 100011011111111111 269834638 61440 269711758 557 536393214598471230 111111111111101 271467914 24576 271418762 558 549475975930141260 10101101111111111 273070560 55296 272959968 559 562558737261811290 111111111111110 274643977 24576 274594825 560 575641498593481320 10011110111111111 276189318 49152 276091014 561 588724259925151350 11001011111111111 277707756 49152 277609452 562 601807021256821380 1011111111011111 279200197 36864 279126469 563 614889782588491410 111111111111111 440396221 32768 440330685 +---------------------------------+ | Observations regarding Table 1. | +---------------------------------+ 1. Terms m = A244052(n) with n > 9 appear in A299990 for m <= 36,000,000. 2. Many but not all m = A244052(n) set records in A299990, and there are many record-setting numbers regarding A299990 that aren't in A244052: {66, 78, 102, 114, 138, 510, 570, 870, 990, 6510, 10710, 19110, 24570, 196350, 6276270, 7417410, 8558550}. +---------------------------------------------------------+ | Table 2: Relationship of A244052, A294492, and A300156 | +---------------------------------------------------------+ n = index in this document. A300156(n) = indices of records in A299990. MN(A300156(n)) = A054841(A300156(n)), multiplicity notation of A300156(n). b(n) = position of A300156(n) in A294492(n) = indices of records in A243822. c(n) = position of A300156(n) in A244052(n) = indices of records in A010846. n A300156(n) A300157(n) MN(A300156(n)) b(n) c(n) ------------------------------------------------------------ 1 1 -1 0 1 1 2 30 2 111 8 9 3 42 3 1101 9 10 4 66 6 11001 11 5 78 7 110001 12 6 90 8 121 13 13 7 102 9 1100001 14 8 114 10 11000001 15 9 138 11 110000001 17 10 150 17 112 18 15 11 210 36 1111 19 17 12 330 45 11101 20 18 13 390 48 111001 21 19 14 510 54 1110001 23 15 570 56 11100001 24 16 630 67 1211 25 21 17 870 69 1110000001 18 990 76 12101 19 1050 97 1121 26 23 20 1470 118 1112 27 25 21 1890 119 1311 27 22 2100 120 2121 28 23 2310 219 11111 28 29 24 2730 231 111101 30 25 3570 249 1111001 31 26 3990 258 11110001 32 27 4620 286 21111 29 33 28 5460 299 211101 34 29 6510 302 11110000001 30 6930 356 12111 30 35 31 8190 367 121101 36 32 9240 377 31111 37 33 10710 392 1211001 34 11550 455 11211 31 39 35 13650 471 112101 40 36 16170 533 11121 32 42 37 19110 547 111201 38 20790 563 13111 44 39 23100 573 21211 45 40 24570 576 131101 41 25410 647 11112 33 46 42 30030 1033 111111 34 48 43 39270 1096 1111101 49 44 43890 1125 11111001 50 45 46410 1129 1111011 51 46 51870 1157 11110101 52 47 53130 1178 111110001 53 48 60060 1334 211111 35 54 49 78540 1405 2111101 55 50 87780 1439 21111001 56 51 90090 1587 121111 36 57 52 117810 1664 1211101 58 53 120120 1721 311111 59 54 150150 1952 112111 37 60 55 180180 2006 221111 61 56 196350 2035 1121101 57 210210 2228 111211 38 62 58 270270 2389 131111 64 59 300300 2455 212111 65 60 330330 2644 111121 39 66 61 390390 2809 111112 40 68 62 450450 2865 122111 70 63 510510 4587 1111111 41 72 64 570570 4683 11111101 73 65 690690 4863 111111001 74 66 746130 4882 11111011 75 67 870870 5108 1111110001 76 68 930930 5180 11111100001 77 69 1021020 5841 2111111 42 78 70 1141140 5953 21111101 79 71 1381380 6162 211111001 80 72 1492260 6176 21111011 81 73 1531530 6794 1211111 43 82 74 1711710 6915 12111101 83 75 2042040 7416 3111111 84 76 2282280 7543 31111101 85 77 2552550 8169 1121111 44 86 78 2852850 8301 11211101 87 79 3063060 8523 2211111 88 80 3423420 8660 22111101 89 81 3573570 9196 1112111 45 90 82 3993990 9335 11121101 91 83 4084080 9370 4111111 92 84 4564560 9515 41111101 93 85 4594590 9902 1311111 94 86 5105100 10201 2121111 95 87 5615610 10736 1111211 46 96 88 6276270 10885 11112101 89 6636630 11356 1111121 47 98 90 7147140 11451 2112111 99 91 7417410 11508 11111201 92 7657650 11717 1221111 100 93 8168160 11781 5111111 101 94 8558550 11874 12211101 95 8678670 12415 1111112 48 102 96 9699690 19473 11111111 49 104 97 11741730 20093 111111101 105 98 13123110 20417 111111011 106 99 14804790 20941 1111111001 107 100 15825810 21201 11111110001 108 101 16546530 21257 1111110101 109 102 17687670 21516 11111101001 110 103 18888870 21931 111111100001 111 104 19399380 24521 21111111 50 112 105 23483460 25237 211111101 113 106 26246220 25602 211111011 114 107 29099070 28156 12111111 51 115 108 35225190 28933 121111101 116 +---------------------------------+ | Observations regarding Table 2. | +---------------------------------+ 1. Of the numbers m = A300156(n) that do not appear in A244052, all m < 870 appear in A294492. 2. The only term of A002182 = indices of records in A000005, present in A300156 is 1. 3. Suppose we take records in -1*A299990(n). The records are A000027(n) at indices A000079(n) in A299990, since A243822(p^e) = 0 for e >= 0. Hence the construction of A299990(n) as the difference A243822(n) - A000005(n) = A010846(n) - 2*A000005(n), as A010846(n) = A000005(n) + A243822(n). eof