Let a,b,c,d,e,f be nonnegative integers with a-b, c-d, e-f positive even numbers, a >= c >= e >= 2, and b >= d if a = c, and d >= f if c = e. I have shown that if the tuple (a,b,c,d,e,f) is universal (over the integers), i.e., {x(ax+b)/2 + y(cy+d)/2 + z(ez+f)/2: x,y,z are integers} = {0,1,2,...} then (a,b,c,d,e,f) must be among the following 12082 tuples. Some of the listed tuples are known to be universal (see, e.g., http://maths.nju.edu.cn/~zwsun/161m.pdf and http://maths.nju.edu.cn/~zwsun/173q.pdf ). I conjecture that each of the listed tuples not yet proved to be universal is indeed universal. Note that those numbers x*(4x+2)/2 with x integral coincide with triangular numbers. --- Zhi-Wei Sun (May 16, 2017) a b c d e f ----------------------------------- 3 1 2 0 2 0 3 1 3 1 2 0 3 1 3 1 3 1 4 0 3 1 2 0 4 0 3 1 3 1 4 2 2 0 2 0 4 2 3 1 2 0 4 2 3 1 3 1 4 2 4 0 2 0 4 2 4 0 3 1 4 2 4 0 4 0 4 2 4 2 2 0 4 2 4 2 3 1 4 2 4 2 4 0 4 2 4 2 4 2 5 1 2 0 2 0 5 1 3 1 2 0 5 1 3 1 3 1 5 1 4 0 2 0 5 1 4 0 3 1 5 1 4 2 2 0 5 1 4 2 3 1 5 1 4 2 4 0 5 1 4 2 4 2 5 1 5 1 2 0 5 1 5 1 3 1 5 1 5 1 4 2 5 3 2 0 2 0 5 3 3 1 2 0 5 3 3 1 3 1 5 3 4 0 2 0 5 3 4 0 3 1 5 3 4 0 4 0 5 3 4 2 2 0 5 3 4 2 3 1 5 3 4 2 4 0 5 3 4 2 4 2 5 3 5 1 2 0 5 3 5 1 3 1 5 3 5 1 4 0 5 3 5 1 4 2 5 3 5 1 5 1 5 3 5 3 2 0 5 3 5 3 3 1 5 3 5 3 4 0 5 3 5 3 4 2 5 3 5 3 5 1 6 0 3 1 2 0 6 0 3 1 3 1 6 0 4 0 3 1 6 0 4 2 2 0 6 0 4 2 3 1 6 0 5 1 3 1 6 0 5 1 4 2 6 0 5 3 3 1 6 0 5 3 4 2 6 2 2 0 2 0 6 2 3 1 2 0 6 2 3 1 3 1 6 2 4 0 2 0 6 2 4 0 3 1 6 2 4 2 2 0 6 2 4 2 3 1 6 2 4 2 4 0 6 2 4 2 4 2 6 2 5 1 2 0 6 2 5 1 3 1 6 2 5 1 4 2 6 2 5 3 2 0 6 2 5 3 3 1 6 2 5 3 4 0 6 2 5 3 4 2 6 2 5 3 5 1 6 2 5 3 5 3 6 2 6 0 2 0 6 2 6 0 3 1 6 2 6 0 4 2 6 2 6 0 5 3 6 2 6 2 2 0 6 2 6 2 3 1 6 2 6 2 4 2 6 2 6 2 5 3 6 4 2 0 2 0 6 4 3 1 2 0 6 4 3 1 3 1 6 4 4 0 3 1 6 4 4 2 2 0 6 4 4 2 3 1 6 4 4 2 4 0 6 4 4 2 4 2 6 4 5 1 2 0 6 4 5 1 3 1 6 4 5 1 4 0 6 4 5 1 4 2 6 4 5 1 5 1 6 4 5 3 2 0 6 4 5 3 3 1 6 4 5 3 4 0 6 4 5 3 4 2 6 4 5 3 5 1 6 4 5 3 5 3 6 4 6 0 2 0 6 4 6 0 3 1 6 4 6 0 4 0 6 4 6 0 4 2 6 4 6 0 5 1 6 4 6 0 5 3 6 4 6 2 2 0 6 4 6 2 3 1 6 4 6 2 4 0 6 4 6 2 4 2 6 4 6 2 5 1 6 4 6 2 5 3 6 4 6 2 6 0 6 4 6 2 6 2 6 4 6 4 2 0 6 4 6 4 3 1 6 4 6 4 4 0 6 4 6 4 4 2 6 4 6 4 5 1 6 4 6 4 5 3 6 4 6 4 6 2 7 1 3 1 2 0 7 1 3 1 3 1 7 1 4 0 2 0 7 1 4 0 3 1 7 1 4 2 2 0 7 1 4 2 3 1 7 1 4 2 4 0 7 1 4 2 4 2 7 1 5 1 2 0 7 1 5 1 3 1 7 1 5 1 4 2 7 1 5 3 2 0 7 1 5 3 3 1 7 1 5 3 4 2 7 1 5 3 5 1 7 1 5 3 5 3 7 1 6 0 3 1 7 1 6 2 2 0 7 1 6 2 3 1 7 1 6 2 4 2 7 1 6 2 5 3 7 1 6 4 2 0 7 1 6 4 3 1 7 1 6 4 4 0 7 1 6 4 4 2 7 1 6 4 5 1 7 1 6 4 5 3 7 1 6 4 6 2 7 1 7 1 3 1 7 3 2 0 2 0 7 3 3 1 2 0 7 3 3 1 3 1 7 3 4 0 2 0 7 3 4 0 3 1 7 3 4 2 2 0 7 3 4 2 3 1 7 3 4 2 4 0 7 3 4 2 4 2 7 3 5 1 2 0 7 3 5 1 3 1 7 3 5 1 4 2 7 3 5 3 2 0 7 3 5 3 3 1 7 3 5 3 4 2 7 3 5 3 5 1 7 3 5 3 5 3 7 3 6 0 3 1 7 3 6 2 2 0 7 3 6 2 3 1 7 3 6 2 4 2 7 3 6 2 5 3 7 3 6 4 2 0 7 3 6 4 3 1 7 3 6 4 4 0 7 3 6 4 4 2 7 3 6 4 5 1 7 3 6 4 5 3 7 3 6 4 6 0 7 3 6 4 6 2 7 3 6 4 6 4 7 3 7 1 2 0 7 3 7 1 3 1 7 3 7 1 4 2 7 3 7 1 5 3 7 3 7 1 6 4 7 3 7 3 3 1 7 3 7 3 5 3 7 3 7 3 6 4 7 5 3 1 2 0 7 5 3 1 3 1 7 5 4 0 3 1 7 5 4 2 2 0 7 5 4 2 3 1 7 5 4 2 4 0 7 5 4 2 4 2 7 5 5 1 2 0 7 5 5 1 3 1 7 5 5 1 4 2 7 5 5 3 2 0 7 5 5 3 3 1 7 5 5 3 4 2 7 5 5 3 5 1 7 5 5 3 5 3 7 5 6 0 3 1 7 5 6 0 5 1 7 5 6 2 2 0 7 5 6 2 3 1 7 5 6 2 4 0 7 5 6 2 4 2 7 5 6 2 5 1 7 5 6 2 5 3 7 5 6 2 6 0 7 5 6 2 6 2 7 5 6 4 2 0 7 5 6 4 3 1 7 5 6 4 4 0 7 5 6 4 4 2 7 5 6 4 5 1 7 5 6 4 5 3 7 5 6 4 6 2 7 5 7 1 2 0 7 5 7 1 3 1 7 5 7 1 4 0 7 5 7 1 4 2 7 5 7 1 5 1 7 5 7 1 5 3 7 5 7 1 6 2 7 5 7 1 6 4 7 5 7 3 2 0 7 5 7 3 3 1 7 5 7 3 4 2 7 5 7 3 5 1 7 5 7 3 5 3 7 5 7 3 6 2 7 5 7 3 6 4 7 5 7 3 7 1 7 5 7 5 2 0 7 5 7 5 3 1 7 5 7 5 5 1 7 5 7 5 5 3 7 5 7 5 6 2 8 0 3 1 2 0 8 0 3 1 3 1 8 0 4 0 3 1 8 0 4 2 2 0 8 0 4 2 3 1 8 0 4 2 4 2 8 0 5 1 2 0 8 0 5 1 3 1 8 0 5 1 4 2 8 0 5 3 3 1 8 0 5 3 4 2 8 0 5 3 5 1 8 0 6 0 3 1 8 0 6 2 3 1 8 0 6 2 4 2 8 0 6 2 5 3 8 0 6 4 3 1 8 0 6 4 4 2 8 0 6 4 5 1 8 0 6 4 6 2 8 0 7 1 3 1 8 0 7 3 3 1 8 0 7 3 6 4 8 0 7 5 3 1 8 0 7 5 5 1 8 0 7 5 6 2 8 2 2 0 2 0 8 2 3 1 2 0 8 2 3 1 3 1 8 2 4 0 3 1 8 2 4 2 2 0 8 2 4 2 3 1 8 2 4 2 4 0 8 2 4 2 4 2 8 2 5 1 2 0 8 2 5 1 3 1 8 2 5 1 4 2 8 2 5 3 2 0 8 2 5 3 3 1 8 2 5 3 4 0 8 2 5 3 4 2 8 2 5 3 5 1 8 2 5 3 5 3 8 2 6 0 3 1 8 2 6 2 2 0 8 2 6 2 3 1 8 2 6 2 4 2 8 2 6 2 5 3 8 2 6 4 2 0 8 2 6 4 3 1 8 2 6 4 4 0 8 2 6 4 4 2 8 2 6 4 5 1 8 2 6 4 5 3 8 2 6 4 6 2 8 2 6 4 6 4 8 2 7 1 3 1 8 2 7 3 3 1 8 2 7 3 4 2 8 2 7 3 5 3 8 2 7 3 6 4 8 2 7 5 2 0 8 2 7 5 3 1 8 2 7 5 4 2 8 2 7 5 5 1 8 2 7 5 5 3 8 2 7 5 6 2 8 2 7 5 6 4 8 2 7 5 7 3 8 2 8 2 3 1 8 4 2 0 2 0 8 4 3 1 2 0 8 4 3 1 3 1 8 4 4 0 2 0 8 4 4 0 3 1 8 4 4 2 2 0 8 4 4 2 3 1 8 4 4 2 4 0 8 4 4 2 4 2 8 4 5 1 2 0 8 4 5 1 3 1 8 4 5 1 4 2 8 4 5 3 2 0 8 4 5 3 3 1 8 4 5 3 4 0 8 4 5 3 4 2 8 4 5 3 5 1 8 4 5 3 5 3 8 4 6 0 3 1 8 4 6 0 4 2 8 4 6 2 2 0 8 4 6 2 3 1 8 4 6 2 4 2 8 4 6 2 5 3 8 4 6 4 2 0 8 4 6 4 3 1 8 4 6 4 4 0 8 4 6 4 4 2 8 4 6 4 5 1 8 4 6 4 5 3 8 4 6 4 6 0 8 4 6 4 6 2 8 4 6 4 6 4 8 4 7 1 2 0 8 4 7 1 3 1 8 4 7 1 4 2 8 4 7 1 5 3 8 4 7 1 6 4 8 4 7 3 2 0 8 4 7 3 3 1 8 4 7 3 4 2 8 4 7 3 5 3 8 4 7 3 6 4 8 4 7 5 2 0 8 4 7 5 3 1 8 4 7 5 4 2 8 4 7 5 5 1 8 4 7 5 5 3 8 4 7 5 6 2 8 4 7 5 6 4 8 4 7 5 7 1 8 4 7 5 7 3 8 4 8 0 2 0 8 4 8 0 3 1 8 4 8 0 4 2 8 4 8 0 5 3 8 4 8 0 6 4 8 4 8 2 2 0 8 4 8 2 3 1 8 4 8 2 4 2 8 4 8 2 5 3 8 4 8 2 6 4 8 4 8 2 7 5 8 4 8 4 2 0 8 4 8 4 3 1 8 4 8 4 4 2 8 4 8 4 5 3 8 4 8 4 6 4 8 6 2 0 2 0 8 6 3 1 2 0 8 6 3 1 3 1 8 6 4 0 2 0 8 6 4 0 3 1 8 6 4 2 2 0 8 6 4 2 3 1 8 6 4 2 4 0 8 6 4 2 4 2 8 6 5 1 2 0 8 6 5 1 3 1 8 6 5 1 4 0 8 6 5 1 4 2 8 6 5 3 2 0 8 6 5 3 3 1 8 6 5 3 4 0 8 6 5 3 4 2 8 6 5 3 5 1 8 6 6 0 3 1 8 6 6 0 4 2 8 6 6 2 2 0 8 6 6 2 3 1 8 6 6 2 4 0 8 6 6 2 4 2 8 6 6 2 5 1 8 6 6 2 5 3 8 6 6 2 6 0 8 6 6 2 6 2 8 6 6 4 2 0 8 6 6 4 3 1 8 6 6 4 4 0 8 6 6 4 4 2 8 6 6 4 5 1 8 6 6 4 5 3 8 6 6 4 6 0 8 6 6 4 6 2 8 6 7 1 2 0 8 6 7 1 3 1 8 6 7 1 4 2 8 6 7 1 5 1 8 6 7 1 5 3 8 6 7 1 6 2 8 6 7 1 6 4 8 6 7 3 2 0 8 6 7 3 3 1 8 6 7 3 4 2 8 6 7 3 5 1 8 6 7 3 5 3 8 6 7 3 6 2 8 6 7 3 6 4 8 6 7 3 7 1 8 6 7 5 2 0 8 6 7 5 3 1 8 6 7 5 4 2 8 6 7 5 5 1 8 6 7 5 5 3 8 6 7 5 6 2 8 6 7 5 7 3 8 6 8 0 3 1 8 6 8 0 5 1 8 6 8 0 6 2 8 6 8 2 2 0 8 6 8 2 3 1 8 6 8 2 4 0 8 6 8 2 4 2 8 6 8 2 5 1 8 6 8 2 5 3 8 6 8 2 6 2 8 6 8 2 6 4 8 6 8 2 7 3 8 6 8 4 2 0 8 6 8 4 3 1 8 6 8 4 4 0 8 6 8 4 4 2 8 6 8 4 5 1 8 6 8 4 5 3 8 6 8 4 6 2 8 6 8 4 6 4 8 6 8 4 7 3 8 6 8 4 8 2 8 6 8 6 3 1 8 6 8 6 6 2 9 1 3 1 2 0 9 1 3 1 3 1 9 1 4 0 2 0 9 1 4 0 3 1 9 1 4 2 2 0 9 1 4 2 3 1 9 1 4 2 4 0 9 1 4 2 4 2 9 1 5 1 2 0 9 1 5 1 3 1 9 1 5 1 4 2 9 1 5 3 3 1 9 1 5 3 4 0 9 1 5 3 4 2 9 1 5 3 5 1 9 1 6 0 3 1 9 1 6 2 2 0 9 1 6 2 3 1 9 1 6 2 4 2 9 1 6 2 5 3 9 1 6 4 3 1 9 1 6 4 4 0 9 1 6 4 4 2 9 1 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95 7 5 3 1 100 72 7 1 3 1 100 78 6 2 5 3 100 96 3 1 2 0 100 96 7 5 3 1 a a-22 6 2 5 3 (a = 102, 105, 109, 110, 112, 116, 117, 121, 128) a a-4 7 5 3 1 (a = 101, 103, 104, 105, 107, 111, 112, 114, 116, 117, 118, 119, 121, 123, 124, 127, 129, 130, 131) a a-4 3 1 2 0 (a = 101, 102, 104, 105, 107, 111, 112, 114, 116, 120, 122, 123, 126, 128, 129, 130, 132, 133) a a-38 7 1 3 1 (a = 102, 103, 104, 105, 106, 108, 111, 115, 117, 118, 119) a a-28 7 1 3 1 (a = 101, 103, 104, 105, 107, 108, 109, 110, 112, 114, 116, 117, 118, 119, 120, 122, 125, 126, 127, 130, 133, 134, 137, 139, 140, 142, 143, 145, 146, 151, 153, 155, 158, 160, 161, 163, 164, 165, 170, 171) -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------