\\ PARI Program to compute A269743.

acc(p1,p2,p3,q1,q2,q3,w,r)={if(r==0, my(key=[p1,p2,p3,q1,q2,q3],z); mapput(M, key, if(mapisdefined(M, key, &z), z+w, w)))}
p33(p1,p2,p3,q1,q2,q3,w,r)={for(i=0, min(r\3, p3), acc(p1, p2, p3-i, q1, q2, q3, binomial(p3,i)*x^(3*i)*w, r-3*i))}
p32(p1,p2,p3,q1,q2,q3,w,r)={for(i=0, min(r\2, p3), p33(p1+i, p2, p3-i, q1, q2, q3, binomial(p3,i)*x^(2*i)*w, r-2*i))}
p31(p1,p2,p3,q1,q2,q3,w,r)={for(i=0, min(r, p3), p32(p1, p2+i, p3-i, q1, q2, q3, binomial(p3,i)*x^i*w, r-i))}
p22(p1,p2,p3,q1,q2,q3,w,r)={for(i=0, min(r\2, p2), p31(p1, p2-i, p3, q1, q2, q3, binomial(p2,i)*x^(2*i)*w, r-2*i))}
p21(p1,p2,p3,q1,q2,q3,w,r)={for(i=0, min(r, p2), p22(p1+i, p2-i, p3, q1, q2, q3, binomial(p2,i)*x^i*w, r-i))}
p11(p1,p2,p3,q1,q2,q3,w,r)={for(i=0, min(r, p1), p21(p1-i, p2, p3, q1, q2, q3, binomial(p1,i)*x^i*w, r-i))}
q33(p1,p2,p3,q1,q2,q3,w,r)={for(i=0, min(r\3, q3), p11(p1, p2, p3, q1, q2, q3-i, binomial(q3,i)*w, r-3*i))}
q32(p1,p2,p3,q1,q2,q3,w,r)={for(i=0, min(r\2, q3), q33(p1, p2, p3, q1+i, q2, q3-i, binomial(q3,i)*w, r-2*i))}
q31(p1,p2,p3,q1,q2,q3,w,r)={for(i=0, min(r, q3), q32(p1, p2, p3, q1, q2+i, q3-i, binomial(q3,i)*w, r-i))}
q22(p1,p2,p3,q1,q2,q3,w,r)={for(i=0, min(r\2, q2), q31(p1, p2, p3, q1, q2-i, q3, binomial(q2,i)*w, r-2*i))}
q21(p1,p2,p3,q1,q2,q3,w,r)={for(i=0, min(r, q2), q22(p1, p2, p3, q1+i, q2-i, q3, binomial(q2,i)*w, r-i))}
q11(p1,p2,p3,q1,q2,q3,w,r)={for(i=0, min(r, q1), q21(p1, p2, p3, q1-i, q2, q3, binomial(q1,i)*w, r-i))}
s(p0,p1,p2,p3,q1,q2,q3,w,r)={ 
  if(p0, q11(p1, p2, p3, q1, q2, q3, p0*w, r)); 
  if(p1, q11(p1-1, p2, p3, q1+1, q2, q3, p1*w, r)); 
  if(p2, q11(p1, p2-1, p3, q1, q2+1, q3, p2*w, r)); 
  if(p3, q11(p1, p2, p3-1, q1, q2, q3+1, p3*w, r)); 
}

\\ returns n-th row
Row(n)={
  local(M=Map(Mat([[0, 0, n, 0, 0, 0], 1])));
  for(k=1, n, my(L=Mat(M)); M=Map(); for(i=1, matsize(L)[1], my([p1,p2,p3,q1,q2,q3]=L[i,1]); s(n+1-k-p1-p2-p3, p1, p2, p3, q1, q2, q3, L[i,2], 3)));
  Vec(vecsum(Mat(M)[,2])/n!);
}