For r = a/b with 1 <= a <= b <= 100 and gcd(a,b) = 1, I have found the least ordered pair (m,n) 
of positive integers with r = m/n such that 

   (prime(prime(prime(m))) + prime(prime(prime(n))))/2 = prime(prime(p)) 

for some prime p.

                                                            -- Zhi-Wei Sun (August 25, 2015)


a b: m n
--------------------
1 1: 1 1
1 2: 755 1510
1 3: 4648 13944
2 3: 2246 3369
1 4: 1335 5340
3 4: 10482 13976
1 5: 1096 5480
2 5: 18976 47440
3 5: 9861 16435
4 5: 1736 2170
1 6: 14708 88248
5 6: 11785 14142
1 7: 5964 41748
2 7: 13256 46396
3 7: 609 1421
4 7: 23600 41300
5 7: 1485 2079
6 7: 354 413
1 8: 636 5088
3 8: 10497 27992
5 8: 6650 10640
7 8: 60515 69160
1 9: 1063 9567
2 9: 5934 26703
4 9: 616 1386
5 9: 22025 39645
7 9: 3094 3978
8 9: 34800 39150
1 10: 13019 130190
3 10: 18378 61260
7 10: 2961 4230
9 10: 29295 32550
1 11: 9808 107888
2 11: 15752 86636
3 11: 291 1067
4 11: 42516 116919
5 11: 22405 49291
6 11: 48 88
7 11: 1162 1826
8 11: 43160 59345
9 11: 30285 37015
10 11: 28850 31735
1 12: 2776 33312
5 12: 22925 55020
7 12: 5355 9180
11 12: 10714 11688
1 13: 2580 33540
2 13: 24064 156416
3 13: 4038 17498
4 13: 2908 9451
5 13: 4280 11128
6 13: 462 1001
7 13: 147 273
8 13: 170352 276822
9 13: 66474 96018
10 13: 21760 28288
11 13: 26763 31629
12 13: 30996 33579
1 14: 2797 39158
3 14: 321 1498
5 14: 21595 60466
9 14: 142146 221116
11 14: 4301 5474
13 14: 280436 302008
1 15: 6421 96315
2 15: 10810 81075
4 15: 76712 287670
7 15: 45927 98415
8 15: 15424 28920
11 15: 97306 132690
13 15: 260234 300270
14 15: 10836 11610
1 16: 1573 25168
3 16: 18429 98288
5 16: 5750 18400
7 16: 42336 96768
9 16: 6156 10944
11 16: 79508 115648
13 16: 120887 148784
15 16: 39675 42320
1 17: 2432 41344
2 17: 2382 20247
3 17: 1077 6103
4 17: 39540 168045
5 17: 23955 81447
6 17: 11946 33847
7 17: 69636 169116
8 17: 68216 144959
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10 17: 120750 205275
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12 17: 13464 19074
13 17: 72384 94656
14 17: 5852 7106
15 17: 107595 121941
16 17: 400 425
1 18: 4790 86220
5 18: 7545 27162
7 18: 2681 6894
11 18: 62876 102888
13 18: 32825 45450
17 18: 408 432
1 19: 862 16378
2 19: 538 5111
3 19: 22212 140676
4 19: 1188 5643
5 19: 1365 5187
6 19: 47364 149986
7 19: 26453 71801
8 19: 38040 90345
9 19: 10449 22059
10 19: 40680 77292
11 19: 36630 63270
12 19: 164592 260604
13 19: 282893 413459
14 19: 8778 11913
15 19: 273165 346009
16 19: 12096 14364
17 19: 165155 184585
18 19: 347976 367308
1 20: 1855 37100
3 20: 9111 60740
7 20: 3654 10440
9 20: 9846 21880
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17 20: 76194 89640
19 20: 51585 54300
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4 21: 6012 31563
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8 21: 1488 3906
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11 21: 31482 60102
13 21: 66560 107520
16 21: 2544 3339
17 21: 6256 7728
19 21: 6859 7581
20 21: 103200 108360
1 22: 2145 47190
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5 22: 31510 138644
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1 23: 18554 426742
2 23: 1382 15893
3 23: 10488 80408
4 23: 8824 50738
5 23: 4890 22494
6 23: 20574 78867
7 23: 18515 60835
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9 23: 22293 56971
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14 23: 26656 43792
15 23: 1425 2185
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17 23: 440402 595838
18 23: 68544 87584
19 23: 5282 6394
20 23: 8940 10281
21 23: 204540 224020
22 23: 390236 407974
1 24: 35634 855216
5 24: 25315 121512
7 24: 497 1704
11 24: 52217 113928
13 24: 10725 19800
17 24: 30022 42384
19 24: 88122 111312
23 24: 15111 15768
1 25: 5264 131600
2 25: 10742 134275
3 25: 576 4800
4 25: 72420 452625
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7 25: 7763 27725
8 25: 16512 51600
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13 25: 107913 207525
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4 27: 3148 21249
5 27: 19135 103329
7 27: 31164 120204
8 27: 46936 158409
10 27: 34660 93582
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17 27: 47668 75708
19 27: 54207 77031
20 27: 80920 109242
22 27: 51832 63612
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23 28: 23 28
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27 28: 107487 111468
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2 29: 5322 77169
3 29: 9891 95613
4 29: 8148 59073
5 29: 15550 90190
6 29: 44796 216514
7 29: 192101 795847
8 29: 109456 396778
9 29: 23301 75081
10 29: 73020 211758
11 29: 250723 660997
12 29: 2664 6438
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27 29: 31860 34220
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27 34: 297 374
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31 34: 160487 176018
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3 35: 81 945
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1 36: 366 13176
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11 36: 60610 198360
13 36: 13 36
17 36: 1413482 2993256
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