I have verified my conjecture in A262195 for those r = a/b with a,b = 1,...,200. -- Zhi-Wei Sun (August 14, 2015) (I) For r = a/b with 1 <= a <= b <= 200 and gcd(a,b) = 1, I have found the least ordered pair (m,n) with m and n in the set S and also r = m/n, where S = {k>0: prime(k) = prime(p)+2 for some prime p} = {p+1: p and prime(p)+2 are both prime}. a b: m n -------------------- 1 1: 3 3 1 2: 3 6 1 3: 6 18 2 3: 4 6 1 4: 578 2312 3 4: 3 4 1 5: 18 90 2 5: 44 110 3 5: 1980 3300 4 5: 15648 19560 1 6: 3 18 5 6: 3020 3624 1 7: 6 42 2 7: 4 14 3 7: 6 14 4 7: 8 14 5 7: 1710 2394 6 7: 1980 2310 1 8: 90 720 3 8: 3 8 5 8: 2100 3360 7 8: 16002 18288 1 9: 1868 16812 2 9: 4 18 4 9: 8 18 5 9: 2100 3780 7 9: 14 18 8 9: 3360 3780 1 10: 374 3740 3 10: 5190 17300 7 10: 2310 3300 9 10: 10008 11120 1 11: 4 44 2 11: 8 44 3 11: 84 308 4 11: 720 1980 5 11: 35510 78122 6 11: 2004 3674 7 11: 2100 3300 8 11: 25344 34848 9 11: 90 110 10 11: 2100 2310 1 12: 674 8088 5 12: 2100 5040 7 12: 7070 12120 11 12: 3740 4080 1 13: 278 3614 2 13: 1908 12402 3 13: 14154 61334 4 13: 3624 11778 5 13: 42990 111774 6 13: 1908 4134 7 13: 602 1118 8 13: 5232 8502 9 13: 16902 24414 10 13: 13160 17108 11 13: 47718 56394 12 13: 98712 106938 1 14: 3 42 3 14: 3 14 5 14: 110 308 9 14: 33462 52052 11 14: 90948 115752 13 14: 1950 2100 1 15: 6 90 2 15: 308 2310 4 15: 744 2790 7 15: 42 90 8 15: 68352 128160 11 15: 2684 3660 13 15: 192530 222150 14 15: 84 90 1 16: 114 1824 3 16: 15054 80288 5 16: 4890 15648 7 16: 4074 9312 9 16: 720 1280 11 16: 2310 3360 13 16: 163982 201824 15 16: 1710 1824 1 17: 3534 60078 2 17: 44 374 3 17: 720 4080 4 17: 18288 77724 5 17: 110 374 6 17: 8124 23018 7 17: 2394 5814 8 17: 12672 26928 9 17: 1980 3740 10 17: 2820 4794 11 17: 374 578 12 17: 50088 70958 13 17: 146250 191250 14 17: 308 374 15 17: 3300 3740 16 17: 25344 26928 1 18: 110 1980 5 18: 11120 40032 7 18: 40740 104760 11 18: 2310 3780 13 18: 3614 5004 17 18: 202640 214560 1 19: 6 114 2 19: 3804 36138 3 19: 18 114 4 19: 744 3534 5 19: 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114480 13 27: 18252 37908 14 27: 26684 51462 16 27: 12672 21384 17 27: 169218 268758 19 27: 3534 5022 20 27: 104400 140940 22 27: 116732 143262 23 27: 246330 289170 25 27: 37050 40014 26 27: 294320 305640 1 28: 3 84 3 28: 3780 35280 5 28: 10980 61488 9 28: 47052 146384 11 28: 1980 5040 13 28: 12974 27944 15 28: 66960 124992 17 28: 63648 104832 19 28: 84132 123984 23 28: 104880 127680 25 28: 38750 43400 27 28: 98712 102368 1 29: 6 174 2 29: 644 9338 3 29: 18 174 4 29: 744 5394 5 29: 1980 11484 6 29: 6900 33350 7 29: 42 174 8 29: 35840 129920 9 29: 18414 59334 10 29: 19080 55332 11 29: 23100 60900 12 29: 13800 33350 13 29: 680160 1517280 14 29: 84 174 15 29: 90 174 16 29: 67968 123192 17 29: 101184 172608 18 29: 234684 378102 19 29: 114 174 20 29: 8040 11658 21 29: 94080 129920 22 29: 983532 1296474 23 29: 26450 33350 24 29: 202032 244122 25 29: 405750 470670 26 29: 89492 99818 27 29: 5022 5394 28 29: 384720 398460 1 30: 3 90 7 30: 2394 10260 11 30: 34914 95220 13 30: 3068 7080 17 30: 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84420 1 6: 10 60 5 6: 7590 9108 1 7: 1548 10836 2 7: 6372 22302 3 7: 9858 23002 4 7: 256 448 5 7: 51480 72072 6 7: 6576 7672 1 8: 5430 43440 3 8: 9402 25072 5 8: 4110 6576 7 8: 30702 35088 1 9: 772 6948 2 9: 10068 45306 4 9: 448 1008 5 9: 460 828 7 9: 10836 13932 8 9: 15232 17136 1 10: 262 2620 3 10: 2052 6840 7 10: 11116 15880 9 10: 34938 38820 1 11: 828 9108 2 11: 1216 6688 3 11: 486 1782 4 11: 42792 117678 5 11: 2410 5302 6 11: 336 616 7 11: 42336 66528 8 11: 448 616 9 11: 1782 2178 10 11: 21060 23166 1 12: 28 336 5 12: 430 1032 7 12: 448 768 11 12: 858 936 1 13: 726 9438 2 13: 30468 198042 3 13: 858 3718 4 13: 11256 36582 5 13: 115830 301158 6 13: 936 2028 7 13: 28 52 8 13: 59376 96486 9 13: 104850 151450 10 13: 21120 27456 11 13: 726 858 12 13: 6840 7410 1 14: 2 28 3 14: 71190 332220 5 14: 10 28 9 14: 13932 21672 11 14: 9108 11592 13 14: 936 1008 1 15: 2410 36150 2 15: 6568 49260 4 15: 936 3510 7 15: 28 60 8 15: 17680 33150 11 15: 8668 11820 13 15: 52 60 14 15: 16660 17850 1 16: 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3020 13590 4 9: 4080 9180 5 9: 1710 3078 7 9: 644 828 8 9: 1824 2052 1 10: 6 60 3 10: 3 10 7 10: 42 60 9 10: 3330 3700 1 11: 1572 17292 2 11: 3084 16962 3 11: 564 2068 4 11: 5232 14388 5 11: 28860 63492 6 11: 720 1320 7 11: 4452 6996 8 11: 35760 49170 9 11: 1908 2332 10 11: 1980 2178 1 12: 84 1008 5 12: 4790 11496 7 12: 602 1032 11 12: 308 336 1 13: 4 52 2 13: 8 52 3 13: 1710 7410 4 13: 720 2340 5 13: 12830 33358 6 13: 12672 27456 7 13: 4452 8268 8 13: 2288 3718 9 13: 35424 51168 10 13: 720 936 11 13: 44 52 12 13: 14760 15990 1 14: 44 616 3 14: 6 28 5 14: 5010 14028 9 14: 18 28 11 14: 110880 141120 13 14: 24414 26292 1 15: 4 60 2 15: 8 60 4 15: 1824 6840 7 15: 8540 18300 8 15: 37968 71190 11 15: 44 60 13 15: 5954 6870 14 15: 10724 11490 1 16: 2820 45120 3 16: 84 448 5 16: 3330 10656 7 16: 22092 50496 9 16: 53442 95008 11 16: 308 448 13 16: 114660 141120 15 16: 720 768 1 17: 1950 33150 2 17: 2100 17850 3 17: 114 646 4 17: 2424 10302 5 17: 5040 17136 6 17: 26184 74188 7 17: 3780 9180 8 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For r = a/b with 1 <= a < b <= 200 and gcd(a,b) = 1, I have found the least ordered pair (m,n) with m in the set T, n in the set S, and also r = m/n. a b: m n -------------------- 1 2: 2 4 1 3: 2 6 2 3: 2 3 1 4: 2 8 3 4: 1548 2064 1 5: 256 1280 2 5: 1320 3300 3 5: 768 1280 4 5: 6576 8220 1 6: 262 1572 5 6: 2350 2820 1 7: 2 14 2 7: 3048 10668 3 7: 1782 4158 4 7: 1320 2310 5 7: 10 14 6 7: 2052 2394 1 8: 6568 52544 3 8: 858 2288 5 8: 71970 115152 7 8: 20706 23664 1 9: 2 18 2 9: 12196 54882 4 9: 3448 7758 5 9: 10 18 7 9: 14196 18252 8 9: 24976 28098 1 10: 336 3360 3 10: 1008 3360 7 10: 105672 150960 9 10: 1782 1980 1 11: 10 110 2 11: 8676 47718 3 11: 14196 52052 4 11: 592 1628 5 11: 1050 2310 6 11: 60 110 7 11: 28 44 8 11: 43440 59730 9 11: 5112 6248 10 11: 26680 29348 1 12: 60 720 5 12: 6520 15648 7 12: 60088 103008 11 12: 37180 40560 1 13: 486 6318 2 13: 268 1742 3 13: 11718 50778 4 13: 2616 8502 5 13: 430 1118 6 13: 3108 6734 7 13: 1050 1950 8 13: 18592 30212 9 13: 23166 33462 10 13: 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