|
%I #30 Sep 08 2022 08:46:09
%S 1,16,166,1666,16666,166666,1666666,16666666,166666666,1666666666,
%T 16666666666,166666666666,1666666666666,16666666666666,
%U 166666666666666,1666666666666666,16666666666666666,166666666666666666,1666666666666666666,16666666666666666666
%N a(n) = (5*10^n - 2)/3.
%C a(k-1) = (10^k - 4)/6, together with b(k) = 3*a(k-1) + 2 = A093143(k) and c(k) = 2*a(k-1) + 1 = A002277(k) are k-digit numbers for k >= 1 satisfying the so-called curious cubic identity a(k-1)^3 + b(k)^3 + c(k)^3 = a(k)*10^(2*k) + b(k)*10^k + c(k) (concatenated a(k)b(k)c(k)). This k-family and the proof of the identity has been given in the introduction of the van der Poorten reference. Thanks go to S. Heinemeyer for bringing these identities to my attention. - _Wolfdieter Lang_, Feb 07 2017
%H Vincenzo Librandi, <a href="/A246057/b246057.txt">Table of n, a(n) for n = 0..100</a>
%H A. van der Poorten, K. Thomsen, and M. Wiebe, <a href="http://dx.doi.org/10.1007/BF02986204">A curious cubic identity and self-similar sums of squares</a>, The Mathematical Intelligencer, v.29(2), pp. 39-41, March 2007.
%H <a href="/index/Rec#order_02">Index entries for linear recurrences with constant coefficients</a>, signature (11,-10).
%F G.f.: (1 + 5*x)/((1 - x)*(1 - 10*x)).
%F a(n) = 11*a(n-1) - 10*a(n-2).
%e Curious cubic identities (see a comment and reference above): 1^3 + 5^3 + 3^3 = 153, 16^3 + 50^3 + 33^3 = 165033, 166^3 + 500^3 + 333^3 = 166500333, ... - _Wolfdieter Lang_, Feb 07 2017
%t Table[(5 10^n - 2)/3, {n, 0, 20}]
%o (Magma) [(5*10^n-2)/3: n in [0..20]];
%o (PARI) vector(50, n, (5*10^(n-1)-2)/3) \\ _Derek Orr_, Aug 13 2014
%Y Cf. sequences with terms of the form 1k..k where the digit k is repeated n times: A000042 (k=1), A090843 (k=2), A097166 (k=3), A099914 (k=4), A099915 (k=5), this sequence (k=6), A246058 (k=7), A246059 (k=8), A067272 (k=9).
%Y Cf. A002277, A093143.
%K nonn,easy
%O 0,2
%A _Vincenzo Librandi_, Aug 13 2014
|
