Number of ways to place 3 nonattacking nightriders on an n X n cylindrical board
(Vaclav Kotesovec, Oct 2 2011)
 
G.f.: -(2*x^3*(3 + 69*x + 228*x^2 + 708*x^3 + 1588*x^4 + 6712*x^5 + 12088*x^6 + 31160*x^7 + 57179*x^8 + 136580*x^9 + 239808*x^10 + 449853*x^11 + 900591*x^12 + 1477077*x^13 + 2525842*x^14 + 4589753*x^15 + 7306716*x^16 + 12021164*x^17 + 19128497*x^18 + 30183091*x^19 + 47577505*x^20 + 72032939*x^21 + 108239562*x^22 + 162774012*x^23 + 240095346*x^24 + 350381354*x^25 + 502772319*x^26 + 720950831*x^27 + 1021062070*x^28 + 1428752645*x^29 + 1987390506*x^30 + 2736513976*x^31 + 3742294655*x^32 + 5079354788*x^33 + 6827953028*x^34 + 9139225932*x^35 + 12124100004*x^36 + 15980799998*x^37 + 20943476282*x^38 + 27256916379*x^39 + 35276596816*x^40 + 45364091725*x^41 + 58004387513*x^42 + 73807879418*x^43 + 93337164899*x^44 + 117464218271*x^45 + 147035351554*x^46 + 183159374264*x^47 + 227100738421*x^48 + 280137583769*x^49 + 344040499089*x^50 + 420621968824*x^51 + 511906209274*x^52 + 620460452977*x^53 + 748658676342*x^54 + 899759787160*x^55 + 1076949738312*x^56 + 1283816648160*x^57 + 1524655568727*x^58 + 1803563002512*x^59 + 2125557616785*x^60 + 2495897019374*x^61 + 2919924912435*x^62 + 3404238806042*x^63 + 3954584267130*x^64 + 4578261153565*x^65 + 5282468562470*x^66 + 6074400376418*x^67 + 6962508279455*x^68 + 7954251974953*x^69 + 9058297858369*x^70 + 10283589412684*x^71 + 11637731241377*x^72 + 13130527274835*x^73 + 14769509898174*x^74 + 16563587291623*x^75 + 18521241864801*x^76 + 20649262703124*x^77 + 22956117999624*x^78 + 25447691032447*x^79 + 28129922977627*x^80 + 31009117817705*x^81 + 34087609044623*x^82 + 37370399159074*x^83 + 40857940620617*x^84 + 44551010102080*x^85 + 48449956292072*x^86 + 52550389899304*x^87 + 56849777261924*x^88 + 61341700555203*x^89 + 66017808823137*x^90 + 70871046711347*x^91 + 75887010046628*x^92 + 81054923924903*x^93 + 86358764556381*x^94 + 91781015199942*x^95 + 97305084410813*x^96 + 102907868757848*x^97 + 108569081502386*x^98 + 114265234250301*x^99 + 119969285286284*x^100 + 125658800473469*x^101 + 131302751877000*x^102 + 136875550513111*x^103 + 142348353514997*x^104 + 147690384392376*x^105 + 152875876072676*x^106 + 157872755891423*x^107 + 162653418372415*x^108 + 167191493570328*x^109 + 171456585792095*x^110 + 175427309381084*x^111 + 179075173512294*x^112 + 182379141002578*x^113 + 185319508181282*x^114 + 187874540498149*x^115 + 190031327730683*x^116 + 191773244203031*x^117 + 193089008150102*x^118 + 193972835388484*x^119 + 194414311933838*x^120 + 194415275417367*x^121 + 193972516221455*x^122 + 193089264361839*x^123 + 191773682348600*x^124 + 190030887405334*x^125 + 187875493915730*x^126 + 185319922415008*x^127 + 182379245480089*x^128 + 179076141808356*x^129 + 175426895658259*x^130 + 171458018534627*x^131 + 167191921565244*x^132 + 162653771625720*x^133 + 157873659929203*x^134 + 152875989128015*x^135 + 147691528445188*x^136 + 142349123452045*x^137 + 136875621869234*x^138 + 131303979975577*x^139 + 125658744748306*x^140 + 119970438846282*x^141 + 114265801512099*x^142 + 108569301741370*x^143 + 102908719685593*x^144 + 97305185414449*x^145 + 91781712644958*x^146 + 86359484383155*x^147 + 81054732931959*x^148 + 75887782559851*x^149 + 70870923563246*x^150 + 66018429387408*x^151 + 61342037062652*x^152 + 56849543417100*x^153 + 52550770364715*x^154 + 48449960021024*x^155 + 44551152201271*x^156 + 40858209226345*x^157 + 37369925440783*x^158 + 34087936929725*x^159 + 31008894930266*x^160 + 28129938284322*x^161 + 25447712833731*x^162 + 22955740567927*x^163 + 20649274227522*x^164 + 18521074726145*x^165 + 16563386084043*x^166 + 14769555840432*x^167 + 13130040542269*x^168 + 11637703931745*x^169 + 10283373333079*x^170 + 9058137769738*x^171 + 7954144015720*x^172 + 6962138929017*x^173 + 6074283215900*x^174 + 5282366733024*x^175 + 4578015486901*x^176 + 3954507927336*x^177 + 3403927379971*x^178 + 2919863863344*x^179 + 2495769821339*x^180 + 2125381395372*x^181 + 1803477619996*x^182 + 1524480510386*x^183 + 1283717495366*x^184 + 1076889649733*x^185 + 899620044342*x^186 + 748626354612*x^187 + 620319293065*x^188 + 511850443963*x^189 + 420587012253*x^190 + 343970311528*x^191 + 280091185064*x^192 + 227029978097*x^193 + 183124065551*x^194 + 147035529782*x^195 + 117404616923*x^196 + 93315033279*x^197 + 73774509100*x^198 + 57995460047*x^199 + 45354977688*x^200 + 35247480512*x^201 + 27246880278*x^202 + 20936575982*x^203 + 15968290330*x^204 + 12122437446*x^205 + 9127084641*x^206 + 6827173044*x^207 + 5072783726*x^208 + 3737508411*x^209 + 2737664548*x^210 + 1984554719*x^211 + 1425208511*x^212 + 1019646126*x^213 + 720059752*x^214 + 504370758*x^215 + 347711506*x^216 + 239004051*x^217 + 163154489*x^218 + 108398903*x^219 + 71713365*x^220 + 46919424*x^221 + 30089640*x^222 + 19497331*x^223 + 11740812*x^224 + 7263255*x^225 + 4525667*x^226 + 2550669*x^227 + 1479668*x^228 + 867636*x^229 + 447851*x^230 + 244532*x^231 + 120550*x^232 + 67502*x^233 + 26630*x^234 + 12038*x^235 + 5442*x^236 + 2179*x^237 + 645*x^238 + 150*x^239 + 18*x^240))/((-1+x)^7*(1+x)^5*(1+x^2)^5*(1-x+x^2)^3*(1+x+x^2)^5*(1+x^4)^3*(1-x^2+x^4)^3*(1-x+x^2-x^3+x^4)^3*(1+x+x^2+x^3+x^4)^5*(1+x^3+x^6)^3*(1+x^8)^3*(1-x^2+x^4-x^6+x^8)^3*(1-x+x^3-x^4+x^5-x^7+x^8)^3*(1+x^5+x^10+x^15+x^20)^3)

Recurrence: a(n) = a(n-244) - a(n-243) + 4*a(n-241) + 6*a(n-238) + 6*a(n-237) + 10*a(n-236) + 7*a(n-235) + 17*a(n-234) + 30*a(n-233) + 24*a(n-232) + 44*a(n-231) + 60*a(n-230) + 63*a(n-229) + 101*a(n-228) + 118*a(n-227) + 147*a(n-226) + 185*a(n-225) + 218*a(n-224) + 294*a(n-223) + 326*a(n-222) + 374*a(n-221) + 486*a(n-220) + 535*a(n-219) + 619*a(n-218) + 715*a(n-217) + 789*a(n-216) + 914*a(n-215) + 979*a(n-214) + 1075*a(n-213) + 1181*a(n-212) + 1203*a(n-211) + 1315*a(n-210) + 1351*a(n-209) + 1312*a(n-208) + 1350*a(n-207) + 1274*a(n-206) + 1196*a(n-205) + 1056*a(n-204) + 815*a(n-203) + 641*a(n-202) + 285*a(n-201) - 107*a(n-200) - 481*a(n-199) - 1077*a(n-198) - 1599*a(n-197) - 2219*a(n-196) - 2963*a(n-195) - 3651*a(n-194) - 4493*a(n-193) - 5246*a(n-192) - 6047*a(n-191) - 6966*a(n-190) - 7638*a(n-189) - 8434*a(n-188) - 9139*a(n-187) - 9640*a(n-186) - 10197*a(n-185) - 10460*a(n-184) - 10644*a(n-183) - 10641*a(n-182) - 10291*a(n-181) - 9968*a(n-180) - 9172*a(n-179) - 8148*a(n-178) - 7037*a(n-177) - 5400*a(n-176) - 3706*a(n-175) - 1693*a(n-174) + 634*a(n-173) + 2988*a(n-172) + 5784*a(n-171) + 8465*a(n-170) + 11305*a(n-169) + 14453*a(n-168) + 17199*a(n-167) + 20137*a(n-166) + 22935*a(n-165) + 25382*a(n-164) + 27858*a(n-163) + 29703*a(n-162) + 31373*a(n-161) + 32632*a(n-160) + 33105*a(n-159) + 33531*a(n-158) + 33015*a(n-157) + 31855*a(n-156) + 30470*a(n-155) + 28071*a(n-154) + 25314*a(n-153) + 21836*a(n-152) + 17698*a(n-151) + 13482*a(n-150) + 8277*a(n-149) + 2991*a(n-148) - 2483*a(n-147) - 8611*a(n-146) - 14305*a(n-145) - 20291*a(n-144) - 26239*a(n-143) - 31677*a(n-142) - 37176*a(n-141) - 41775*a(n-140) - 46128*a(n-139) - 50015*a(n-138) - 52622*a(n-137) - 54987*a(n-136) - 56274*a(n-135) - 56530*a(n-134) - 56270*a(n-133) - 54619*a(n-132) - 52392*a(n-131) - 49163*a(n-130) - 44910*a(n-129) - 40375*a(n-128) - 34567*a(n-127) - 28391*a(n-126) - 21955*a(n-125) - 14638*a(n-124) - 7514*a(n-123) + 7514*a(n-121) + 14638*a(n-120) + 21955*a(n-119) + 28391*a(n-118) + 34567*a(n-117) + 40375*a(n-116) + 44910*a(n-115) + 49163*a(n-114) + 52392*a(n-113) + 54619*a(n-112) + 56270*a(n-111) + 56530*a(n-110) + 56274*a(n-109) + 54987*a(n-108) + 52622*a(n-107) + 50015*a(n-106) + 46128*a(n-105) + 41775*a(n-104) + 37176*a(n-103) + 31677*a(n-102) + 26239*a(n-101) + 20291*a(n-100) + 14305*a(n-99) + 8611*a(n-98) + 2483*a(n-97) - 2991*a(n-96) - 8277*a(n-95) - 13482*a(n-94) - 17698*a(n-93) - 21836*a(n-92) - 25314*a(n-91) - 28071*a(n-90) - 30470*a(n-89) - 31855*a(n-88) - 33015*a(n-87) - 33531*a(n-86) - 33105*a(n-85) - 32632*a(n-84) - 31373*a(n-83) - 29703*a(n-82) - 27858*a(n-81) - 25382*a(n-80) - 22935*a(n-79) - 20137*a(n-78) - 17199*a(n-77) - 14453*a(n-76) - 11305*a(n-75) - 8465*a(n-74) - 5784*a(n-73) - 2988*a(n-72) - 634*a(n-71) + 1693*a(n-70) + 3706*a(n-69) + 5400*a(n-68) + 7037*a(n-67) + 8148*a(n-66) + 9172*a(n-65) + 9968*a(n-64) + 10291*a(n-63) + 10641*a(n-62) + 10644*a(n-61) + 10460*a(n-60) + 10197*a(n-59) + 9640*a(n-58) + 9139*a(n-57) + 8434*a(n-56) + 7638*a(n-55) + 6966*a(n-54) + 6047*a(n-53) + 5246*a(n-52) + 4493*a(n-51) + 3651*a(n-50) + 2963*a(n-49) + 2219*a(n-48) + 1599*a(n-47) + 1077*a(n-46) + 481*a(n-45) + 107*a(n-44) - 285*a(n-43) - 641*a(n-42) - 815*a(n-41) - 1056*a(n-40) - 1196*a(n-39) - 1274*a(n-38) - 1350*a(n-37) - 1312*a(n-36) - 1351*a(n-35) - 1315*a(n-34) - 1203*a(n-33) - 1181*a(n-32) - 1075*a(n-31) - 979*a(n-30) - 914*a(n-29) - 789*a(n-28) - 715*a(n-27) - 619*a(n-26) - 535*a(n-25) - 486*a(n-24) - 374*a(n-23) - 326*a(n-22) - 294*a(n-21) - 218*a(n-20) - 185*a(n-19) - 147*a(n-18) - 118*a(n-17) - 101*a(n-16) - 63*a(n-15) - 60*a(n-14) - 44*a(n-13) - 24*a(n-12) - 30*a(n-11) - 17*a(n-10) - 7*a(n-9) - 10*a(n-8) - 6*a(n-7) - 6*a(n-6) - 4*a(n-3) + a(n-1)

Explicit formula: a(n) = (47753*n^2)/450-(119221*n^3)/900+(629*n^4)/20-(79*n^5)/15+n^6/6+196/25*n^2*floor(n/25)+64/5*n^2*floor(n/20)+2*n^2*floor(n/16)+16/3*n^2*floor(n/12)-64/5*n^2*floor(n/10)+16/9*n^2*floor(n/9)+(16*n+n^2)*floor(n/8)+(-20*n+(6208*n^2)/75-(96*n^3)/5+(16*n^4)/5)*floor(n/5)+(-10*n+16*n^2-6*n^3+n^4)*floor(n/4)+(-8*n+(1364*n^2)/45-8*n^3+(4*n^4)/3)*floor(n/3)+(33*n+(517*n^2)/10-11*n^3+2*n^4)*floor(n/2)-64/5*n^2*floor((1+n)/20)-16/3*n^2*floor((1+n)/12)+(20*n+(96*n^2)/5)*floor((1+n)/10)+(8*n+8*n^2)*floor((1+n)/6)+(-20*n+(2998*n^2)/75-(48*n^3)/5+(8*n^4)/5)*floor((1+n)/5)+(6*n+(557*n^2)/15-6*n^3+n^4)*floor((1+n)/4)+(-8*n+(94*n^2)/9-4*n^3+(2*n^4)/3)*floor((1+n)/3)+128/15*n^2*floor((2+n)/15)+(-20*n-(32*n^2)/5)*floor((2+n)/10)+16/9*n^2*floor((2+n)/9)+((946*n^2)/25-(48*n^3)/5+(8*n^4)/5)*floor((2+n)/5)+64/5*n^2*floor((3+n)/20)-128/15*n^2*floor((3+n)/15)+16/3*n^2*floor((3+n)/12)+(20*n+(32*n^2)/5)*floor((3+n)/10)+(16*n+3*n^2)*floor((3+n)/8)+(-20*n+(2998*n^2)/75-(48*n^3)/5+(8*n^4)/5)*floor((3+n)/5)+196/25*n^2*floor((4+n)/25)+128/15*n^2*floor((4+n)/15)-64/5*n^2*floor((5+n)/20)+16/9*n^2*floor((5+n)/9)-128/15*n^2*floor((6+n)/15)+64/5*n^2*floor((7+n)/20)+2*n^2*floor((7+n)/16)+128/15*n^2*floor((7+n)/15)+196/25*n^2*floor((9+n)/25)+196/25*n^2*floor((14+n)/25)+196/25*n^2*floor((19+n)/25)

Mathematica: 
Table[(47753*n^2)/450-(119221*n^3)/900+(629*n^4)/20-(79*n^5)/15+n^6/6+196/25*n^2*Floor[n/25]+64/5*n^2*Floor[n/20]+2*n^2*Floor[n/16]+16/3*n^2*Floor[n/12]-64/5*n^2*Floor[n/10]+16/9*n^2*Floor[n/9]+(16*n+n^2)*Floor[n/8]+(-20*n+(6208*n^2)/75-(96*n^3)/5+(16*n^4)/5)*Floor[n/5]+(-10*n+16*n^2-6*n^3+n^4)*Floor[n/4]+(-8*n+(1364*n^2)/45-8*n^3+(4*n^4)/3)*Floor[n/3]+(33*n+(517*n^2)/10-11*n^3+2*n^4)*Floor[n/2]-64/5*n^2*Floor[(1+n)/20]-16/3*n^2*Floor[(1+n)/12]+(20*n+(96*n^2)/5)*Floor[(1+n)/10]+(8*n+8*n^2)*Floor[(1+n)/6]+(-20*n+(2998*n^2)/75-(48*n^3)/5+(8*n^4)/5)*Floor[(1+n)/5]+(6*n+(557*n^2)/15-6*n^3+n^4)*Floor[(1+n)/4]+(-8*n+(94*n^2)/9-4*n^3+(2*n^4)/3)*Floor[(1+n)/3]+128/15*n^2*Floor[(2+n)/15]+(-20*n-(32*n^2)/5)*Floor[(2+n)/10]+16/9*n^2*Floor[(2+n)/9]+((946*n^2)/25-(48*n^3)/5+(8*n^4)/5)*Floor[(2+n)/5]+64/5*n^2*Floor[(3+n)/20]-128/15*n^2*Floor[(3+n)/15]+16/3*n^2*Floor[(3+n)/12]+(20*n+(32*n^2)/5)*Floor[(3+n)/10]+(16*n+3*n^2)*Floor[(3+n)/8]+(-20*n+(2998*n^2)/75-(48*n^3)/5+(8*n^4)/5)*Floor[(3+n)/5]+196/25*n^2*Floor[(4+n)/25]+128/15*n^2*Floor[(4+n)/15]-64/5*n^2*Floor[(5+n)/20]+16/9*n^2*Floor[(5+n)/9]-128/15*n^2*Floor[(6+n)/15]+64/5*n^2*Floor[(7+n)/20]+2*n^2*Floor[(7+n)/16]+128/15*n^2*Floor[(7+n)/15]+196/25*n^2*Floor[(9+n)/25]+196/25*n^2*Floor[(14+n)/25]+196/25*n^2*Floor[(19+n)/25],{n,1,100}]