A194648 Number of ways to place 6n nonattacking kings on a 12 X 2n cylindrical chessboard (Vaclav Kotesovec, Sep 7 2011) G.f.: -2*(89 - 10723*x + 624883*x^2 - 23467472*x^3 + 638482759*x^4 - 13413438823*x^5 + 226473764701*x^6 - 3158289686979*x^7 + 37103633559220*x^8 - 372694837903881*x^9 + 3237745813930155*x^10 - 24547968675532954*x^11 + 163614642504317985*x^12 - 964304038772421241*x^13 + 5049759125224371420*x^14 - 23588023055204532526*x^15 + 98596816518900996536*x^16 - 369749982256505051694*x^17 + 1246596985141596105568*x^18 - 3784597631073220306538*x^19 + 10359024333739520735339*x^20 - 25585681777980494528368*x^21 + 57053755996516362455383*x^22 - 114888547350422714345765*x^23 + 208902287314052794121104*x^24 - 342869470671586467674888*x^25 + 507641177125927409932643*x^26 - 677372760244012841358262*x^27 + 813609297504705570196666*x^28 - 878342471490783010304860*x^29 + 850694012325076563431472*x^30 - 737552286681553434746588*x^31 + 570953207080580401887926*x^32 - 393443472758624547076877*x^33 + 240492887995406185027902*x^34 - 129856401671770146735901*x^35 + 61639142225796645736766*x^36 - 25573570614423905917540*x^37 + 9210893172737036351470*x^38 - 2856378339325215858728*x^39 + 755038783301137591711*x^40 - 168008916680174264403*x^41 + 30973413839355772619*x^42 - 4632967261563067407*x^43 + 546417184904397579*x^44 - 48752942786878302*x^45 + 3082610022161544*x^46 - 122652589076640*x^47 + 2300138467200*x^48)/ ((-1+x)*(-1+2*x)*(-1+4*x)*(-1+7*x)*(1-3*x+x^2)*(1-5*x+2*x^2)*(1-6*x+3*x^2)*(1-5*x+3*x^2)* (1-7*x+5*x^2)*(1-7*x+8*x^2)*(1-7*x+9*x^2)*(1-7*x+11*x^2)*(-1+6*x-9*x^2+x^3)*(-1+7*x-12*x^2+3*x^3)* (-1+7*x-11*x^2+3*x^3)*(-1+7*x-11*x^2+4*x^3)*(-1+7*x-13*x^2+5*x^3)*(-1+7*x-12*x^2+5*x^3)* (-1+7*x-14*x^2+7*x^3)*(1-7*x+14*x^2-8*x^3+x^4)*(1-7*x+13*x^2-7*x^3+x^4)) Recurrence: a(n) = 25147584000*a(n-49) - 1412422401600*a(n-48) + 37366066553760*a(n-47) - 621736878459564*a(n-46) + 7328352058508736*a(n-45) - 65327706620774553*a(n-44) + 459103033290045078*a(n-43) - 2617610437109862140*a(n-42) + 12365157710942649267*a(n-41) - 49174878927647152193*a(n-40) + 166723091105251092029*a(n-39) - 486797186990900726158*a(n-38) + 1234232572662337908295*a(n-37) - 2736099335631729732358*a(n-36) + 5334155219056391326621*a(n-35) - 9190302655918861018594*a(n-34) + 14052187658858602811086*a(n-33) - 19136737348463193623732*a(n-32) + 23283124318667970185580*a(n-31) - 25375425632156076733736*a(n-30) + 24829391878777653306741*a(n-29) - 21854027730161965985121*a(n-28) + 17330242433059284917247*a(n-27) - 12398045659209581154381*a(n-26) + 8009846446628877143184*a(n-25) - 4676788353519183205994*a(n-24) + 2469102261987638350625*a(n-23) - 1178957762144560119277*a(n-22) + 509105053427808565774*a(n-21) - 198758740577568913437*a(n-20) + 70110767534529096739*a(n-19) - 22324060511037585983*a(n-18) + 6408095608117333736*a(n-17) - 1655461203049171846*a(n-16) + 384075945698236159*a(n-15) - 79813193163925620*a(n-14) + 14807521518627422*a(n-13) - 2442977988253415*a(n-12) + 356686744049422*a(n-11) - 45815780494341*a(n-10) + 5139688443504*a(n-9) - 499005760654*a(n-8) + 41450235787*a(n-7) - 2902322885*a(n-6) + 167948132*a(n-5) - 7815096*a(n-4) + 280953*a(n-3) - 7321*a(n-2) + 123*a(n-1) Explicit formula (in Mathematica format): kings6cyl = (2*7^n + 4*4^n + 8*2^n + 6 + 6*((7 + Sqrt[13])/2)^n + 6*((7 - Sqrt[13])/2)^n + 4*((7 + Sqrt[29])/2)^n + 4*((7 - Sqrt[29])/2)^n + 4*((7 + Sqrt[17])/2)^n + 4*((7 - Sqrt[17])/2)^n + 4*((7 + Sqrt[5])/2)^n + 4*((7 - Sqrt[5])/2)^n + 2*((3 + Sqrt[5])/2)^n + 2*((3 - Sqrt[5])/2)^n + 2*((5 + Sqrt[17])/2)^n + 2*((5 - Sqrt[17])/2)^n + 4*((5 + Sqrt[13])/2)^n + 4*((5 - Sqrt[13])/2)^n + 2*(3 + Sqrt[6])^n + 2*(3 - Sqrt[6])^n + 4*((7 + 8*Cos[ArcCos[37/64]/3])/3)^n + 4*((7 - 8*Sin[Pi/6 + ArcCos[37/64]/3])/3)^n + 4*((7 - 8*Sin[ArcSin[37/64]/3])/3)^n + 4*((7 - 2*Sqrt[13]*Sin[ArcSin[11/(26*Sqrt[13])]/3])/3)^n + 4*((7 - 2*Sqrt[13]*Sin[Pi/6 + ArcCos[11/(26*Sqrt[13])]/3])/3)^n + 4*((7 + 2*Sqrt[13]*Cos[ArcCos[11/(26*Sqrt[13])]/3])/3)^n + 4*((7 - 2*Sqrt[13]*Sin[ArcSin[5/(2*Sqrt[13])]/3])/3)^n + 4*((7 - 2*Sqrt[13]*Sin[Pi/6 + ArcCos[5/(2*Sqrt[13])]/3])/3)^n + 4*((7 + 2*Sqrt[13]*Cos[ArcCos[5/(2*Sqrt[13])]/3])/3)^n + 4*(7/3 + (2*Sqrt[10]*Cos[(2*Pi + ArcCos[1/(10*Sqrt[10])])/3])/3)^n + 4*(7/3 + (2*Sqrt[10]*Cos[(4*Pi + ArcCos[1/(10*Sqrt[10])])/3])/3)^n + 4*(7/3 + (2*Sqrt[10]*Cos[ArcCos[1/(10*Sqrt[10])]/3])/3)^n + 4*(2*Sin[Pi/7])^(2*n) + 4*(2*Sin[2*(Pi/7)])^(2*n) + 4*(2*Sin[3*(Pi/7)])^(2*n) + 2*(2*Cos[Pi/9])^(2*n) + 2*(2*Cos[2*(Pi/9)])^(2*n) + 2*(2*Cos[4*(Pi/9)])^(2*n) + 4*((7 - 8*Sin[ArcSin[101/128]/3])/3)^n + 4*((7 - 8*Sin[Pi/6 + ArcCos[101/128]/3])/3)^n + 4*((7 + 8*Cos[ArcCos[101/128]/3])/3)^n + 2*((7 - Sqrt[5] + Sqrt[38 - 14*Sqrt[5]])/4)^n + 2*((7 - Sqrt[5] - Sqrt[38 - 14*Sqrt[5]])/4)^n + 2*((7 + Sqrt[5] + Sqrt[38 + 14*Sqrt[5]])/4)^n + 2*((7 + Sqrt[5] - Sqrt[38 + 14*Sqrt[5]])/4)^n + 4*((7 + Sqrt[5] + Sqrt[30 + 6*Sqrt[5]])/4)^n + 4*((7 + Sqrt[5] - Sqrt[30 + 6*Sqrt[5]])/4)^n + 4*((7 - Sqrt[5] + Sqrt[30 - 6*Sqrt[5]])/4)^n + 4*((7 - Sqrt[5] - Sqrt[30 - 6*Sqrt[5]])/4)^n);