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LINKS
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Alois P. Heinz, Table of n, a(n) for n = 0..500
J. M. Luck, On the frequencies of patterns of rises and falls, arXiv preprint arXiv:1309.7764 [cond-mat.stat-mech], 2013-2014.
Peter Luschny, An old operation on sequences: the Seidel transform.
Anthony Mendes and Jeffrey Remmel, Generating functions from symmetric functions, Preliminary version of book, available from Jeffrey Remmel's home page.
Ludwig Seidel, Über eine einfache Entstehungsweise der Bernoulli'schen Zahlen und einiger verwandten Reihen, Sitzungsberichte der mathematisch-physikalischen Classe der königlich bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München, volume 7 (1877), 157-187. [USA access only through the HATHI TRUST Digital Library]
Ludwig Seidel, Über eine einfache Entstehungsweise der Bernoulli'schen Zahlen und einiger verwandten Reihen, Sitzungsberichte der mathematisch-physikalischen Classe der königlich bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München, volume 7 (1877), 157-187. [Access through ZOBODAT]
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MAPLE
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A178963_list := proc(dim) local E, DIM, n, k;
DIM := dim-1; E := array(0..DIM, 0..DIM); E[0, 0] := 1;
for n from 1 to DIM do
if n mod 3 = 0 then E[n, 0] := 0 ;
for k from n-1 by -1 to 0 do E[k, n-k] := E[k+1, n-k-1] + E[k, n-k-1] od;
else E[0, n] := 0;
for k from 1 by 1 to n do E[k, n-k] := E[k-1, n-k+1] + E[k-1, n-k] od;
fi od; [E[0, 0], seq(E[k, 0]+E[0, k], k=1..DIM)] end:
A178963_list(30); # Peter Luschny, Apr 02 2012
# Alternatively, using a bivariate exponential generating function:
A178963 := proc(n) local g, p, q;
g := (x, z) -> 3*exp(x*z)/(exp(z)+2*exp(-z/2)*cos(z*sqrt(3)/2));
p := (n, x) -> n!*coeff(series(g(x, z), z, n+2), z, n);
q := (n, m) -> if modp(n, m) = 0 then 0 else 1 fi:
(-1)^floor(n/3)*p(n, q(n, 3)) end:
seq(A178963(i), i=0..30); # Peter Luschny, Jun 06 2012
# third Maple program:
b:= proc(u, o, t) option remember; `if`(u+o=0, 1,
`if`(t=0, add(b(u-j, o+j-1, irem(t+1, 3)), j=1..u),
add(b(u+j-1, o-j, irem(t+1, 3)), j=1..o)))
end:
a:= n-> b(n, 0, 0):
seq(a(n), n=0..35); # Alois P. Heinz, Oct 29 2014
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