a(n,k) tabf head (staircase) for A105805. Wolfdieter Lang. Revised July 18 2013 Thanks to Richard J Mathar found pointing out errors due to wrong order. Rank of partitions of n listed in Abramowitz-Stegun order (see the main page for the ref.) n\k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ... 1 0 2 1 -1 3 2 0 -2 4 3 1 0 -1 -3 5 4 2 1 0 -1 -2 -4 6 5 3 2 1 1 0 -1 -1 -2 -3 -5 7 6 4 3 2 2 1 0 0 0 -1 -2 -2 -3 -4 -6 8 7 5 4 3 2 3 2 1 1 0 1 0 -1 -1 -2 -1 -2 -3 -3 -4 -5 -7 9 8 6 5 4 3 4 3 2 1 2 1 0 2 1 0 0 -1 -1 0 -1 -2 -2 -3 -2 -3 -4 -4 -5 -6 -8 n\k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ... . . . Row n has p(n)=A000041(n) non-zero entries (partition numbers) [1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627...]. Row n=10 with 42 entries: [9, 7, 6, 5, 4, 3, 5, 4, 3, 2, 3, 2, 1, 1, 3, 2, 1, 0, 1, 0, -1, 0, -1, 1, 0, -1, -1, -2, -2, -3, -1, -2, -3, -3, -4, -3, -4, -5, -5, -6, -7, -9] Row n=11 with 56 entries: [10, 8, 7, 6, 5, 4, 6, 5, 4, 3, 2, 4, 3, 2, 2, 1, 4, 3, 2, 1, 2, 1, 0, 0, 1, 0, -1, 2, 1, 0, -1, 0, -1, -2, -1, -2, -2, 0, -1, -2, -2, -3, -3, -4, -2, -3, -4, -4, -5, -4, -5, -6, -6, -7, -8, -10] Row n=12 with 77 entries: [11, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 7, 6, 5, 4, 3, 5, 4, 3, 2, 3, 2, 1, 5, 4, 3, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 0, 2, 1, 0, 0, -1, 3, 2, 1, 0, 1, 0, -1, -1, 0, -1, -2, -1, -2, 1, 0, -1, -2, -1, -2, -3, -2, -3, -3, -4, -1, -2, -3, -3, -4, -4, -5, -3, -4, -5, -5, -6, -5, -6, -7, -7, -8, -9, -11] Row n=13 with 101 entries: [12, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 6, 5, 4, 3, 4, 3, 2, 2, 6, 5, 4, 3, 2, 4, 3, 2, 1, 2, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 0, 0, 4, 3, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 0, -1, 1, 0, -1, -1, -2, 0, -1, -2, 2, 1, 0, -1, 0, -1, -2, -2, -1, -2, -3, -2, -3, -3, 0, -1, -2, -3, -2, -3, -4, -3, -4, -4, -5, -2, -3, -4, -4, -5, -5, -6, -4, -5, -6, -6, -7, -6, -7, -8, -8, -9, -10, -12] Row n=14 with 135 entries: [13, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 7, 6, 5, 4, 3, 5, 4, 3, 3, 2, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 5, 4, 3, 2, 3, 2, 1, 1, 4, 3, 2, 1, 2, 1, 0, 1, 0, 5, 4, 3, 2, 1, 3, 2, 1, 0, 1, 0, -1, 2, 1, 0, 0, -1, -1, 1, 0, -1, -1, -2, 3, 2, 1, 0, -1, 1, 0, -1, -1, -2, 0, -1, -2, -2, -3, -1, -2, -3, -2, -3, 1, 0, -1, -2, -1, -2, -3, -3, -2, -3, -4, -3, -4, -4, -5, -1, -2, -3, -4, -3, -4, -5, -4, -5, -5, -6, -3, -4, -5, -5, -6, -6, -7, -5, -6, -7, -7, -8, -7, -8, -9, -9, -10, -11, -13] Row n=15 with 176 entries: [14, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 8, 7, 6, 5, 4, 6, 5, 4, 3, 4, 3, 2, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 6, 5, 4, 3, 2, 4, 3, 2, 2, 1, 5, 4, 3, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 0, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 1, 2, 1, 0, 0, 3, 2, 1, 0, 1, 0, -1, 0, -1, 2, 1, 0, 0, -1, -1, -2, 4, 3, 2, 1, 0, 2, 1, 0, -1, 0, -1, -2, 1, 0, -1, -1, -2, -2, 0, -1, -2, -2, -3, -1, -2, -3, 2, 1, 0, -1, -2, 0, -1, -2, -2, -3, -1, -2, -3, -3, -4, -2, -3, -4, -3, -4, -4, 0, -1, -2, -3, -2, -3, -4, -4, -3, -4, -5, -4, -5, -5, -6, -2, -3, -4, -5, -4, -5, -6, -5, -6, -6, -7, -4, -5, -6, -6, -7, -7, -8, -6, -7, -8, -8, -9, -8, -9, -10, -10, -11, -12, -14] Richard J Mathar gave row n = 16 with 231 entries: [15, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 7, 6, 5, 4, 5, 4, 3, 3, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 7, 6, 5, 4, 3, 5, 4, 3, 2, 3, 2, 1, 6, 5, 4, 3, 2, 4, 3, 2, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 0, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 5, 4, 3, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 0, 4, 3, 2, 1, 2, 1, 0, 0, 1, 0, -1, 3, 2, 1, 0, 1, 0, -1, 0, -1, -1, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 3, 2, 1, 0, 1, 0, -1, -1, 2, 1, 0, -1, 0, -1, -2, -1, -2, 1, 0, -1, -1, -2, -2, -3, 0, -1, -2, -2, -3, 3, 2, 1, 0, -1, 1, 0, -1, -2, -1, -2, -3, 0, -1, -2, -2, -3, -3, -1, -2, -3, -3, -4, -2, -3, -4, -3, -4, 1, 0, -1, -2, -3, -1, -2, -3, -3, -4, -2, -3, -4, -4, -5, -3, -4, -5, -4, -5, -5, -6, -1, -2, -3, -4, -3, -4, -5, -5, -4, -5, -6, -5, -6, -6, -7, -3, -4, -5, -6, -5, -6, -7, -6, -7, -7, -8, -5, -6, -7, -7, -8, -8, -9, -7, -8, -9, -9, -10, -9, -10, -11, -11, -12, -13, -15] This is in accordance with the corrected program of WL. etc. ######################################################################################